高等函數的概念精選(九篇)

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第1篇：高等函數的概念范文

關鍵詞 高等數學 初等數學 教材內容 比對 銜接

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A

Comparison between the Content of Higher

Mathematics and Elementary Mathematics

DU Huijuan

(School of Software, East China Normal University, Shanghai 200062)

Abstract Effective convergence of higher mathematics and elementary mathematics teaching materials, is one of the key issues to effectively improve the quality of teaching of higher mathematics courses learning. Content and teaching requirements of the higher mathematics and elementary mathematics textbooks "function and limit", "derivative and differential", and gives some suggestions to solve these problems.

Key words higher mathematics; elementary mathematics; teaching materials; comparison

經過調研了解到，2003年3月教育部頒發(fā)的《普通高級中學數學課程標準》出臺之后，新出版的高中教材與以前的教材相比，一個重要的特點是新教材進一步加強了高中數學與大學數學的聯系，高中教材中安排了大學數學課程里的一些基本概念、基礎知識和思維方法。試圖從教學內容方面解決高中數學與大學數學的銜接問題。但是，大學數學與高中數學教材內容的銜接上還存在不少問題。這些問題影響了大學數學課程的教學質量，對大學新生盡快適應大學數學學習形成了障礙。高等數學與初等數學教材內容的有效銜接亟待解決。

1 “函數與極限”的銜接

函數，是高中數學的重點內容，高考要求較高，學生掌握也比較牢固。高等數學教材中的這部分內容基本相同，但內涵更豐富，難度也提高了。

（1）函數概念：在原有內容中，增加了幾個在高等數學中經常用到的實例，如取整函數、狄利克雷函數、黎曼函數、符號函數等。因此，在學習中，函數概念部分可以簡略，重點學習這幾個特殊函數即可。

（2）初等函數：反三角函數要求提高，新增加了“雙曲函數”和“反雙曲函數”等內容。反三角函數的概念在高中已學過，但高中對此內容要求較低，只要求學生會用反三角函數表示“非特殊角”即可。而高等函數中要求較高，此處在學習中應補充有關內容：在復習概念的基礎上，要求學生熟悉其圖像和性質，以達到靈活應用的目的。新增加的“雙曲函數”和“反雙曲函數”在高等數學中經常用到，故應特別注意。

（3）函數極限：“數列極限的定義”，高中教材用的是描述性定義，而高等數學重用的是“”定義，此處是學生在高等數學的學習中遇到的第一個比較難理解的概念，因此在教學中應注意加強引導，避免影響函數極限后面內容的學習。新增內容“收斂數列的性質”雖是新增內容，但比較容易理解和掌握，教學正常安排即可。“極限四則運算”處增加了“兩個重要極限”，要加強有關內容的學習。

2 “導數與微分” 的銜接

高中新教材中的一元函數微積分的部分內容，是根據高等數學內容學習需要所添加，目的是加強高中數學與高等數學的聯系，讓中學生初步了解微積分的思想。

（1）導數的定義：高中數學和高等數學教材中，這一內容是相同的，不同的是學習要求。高中數學要求：了解導數概念的某些實際背景（例如瞬時速度，加速度，光滑曲線的切線的斜率等）；掌握函數在一點處的導數的概念和導數的幾何意義；理解導函數的概念。也就是說，盡管極限與導數在高中已經學過，但主要是介紹概念和求法,對概念的深入理解不作要求。到了大學，概念上似懂非懂、不會靈活運用，成了夾生飯。但高等數學要求學生掌握并熟練應用，這是高等數學的一個重要內容，在此處應用舉例增加了利用“兩個重要極限”解題的例題，在教學中應給與足夠的重視。

（2）導數的運算：高中新課標教材要求較低：根據導數的定義會求簡單函數的導數；能利用給出的基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則求簡單函數的導數，會求簡單的復合函數導數。重點考察利用導數的幾何意義分析問題、解決問題的綜合能力。

高等數學教學大綱對這部分內容要求：掌握導數的四則運算法則和復合函數的求導法；掌握初等函數的一、二階導數的求法，會求分段函數、隱函數、參數方程所確定的函數的一階、二階導數；了解高階導數的概念，會求簡單函數的n階導數；了解微分的概念與四則運算。

建議：高中學過的僅僅是該內容的基礎，因此需重新學習已學過的內容，為本節(jié)后面更深更難的內容打好基礎。

（3）導數的應用：高中新教材中僅是借助幾何直觀探索并了解函數的單調性與導數的關系，并通過實際的背景和具體應用事例引導學生經歷由函數增長到函數減少的過程，使學生了解函數的單調性，極值與導數的關系，要求結合函數圖像，知道函數在某點取得極值的必要條件和充分條件，會用導數求不超過三次的多項式函數的最大最小值；體會導數方法在研究函數性質中的一般性和有效性；通過使利潤最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題，體會導數在解決實際問題中的應用。

高等數學對這部分內容的處理是：先介紹三個微分中值定理、洛必達法則、泰勒公式，然后嚴格證明函數的單調性和曲線的凹凸性，給出函數的極值、最值的嚴格定義，及函數在一點取得極值的必要條件和充分條件。在此基礎上，討論求最大最小值的應用問題，以及用導數描繪函數圖形的方法步驟。

建議：由以上分析比較可知，高中數學所涉及的一元微分學雖然內容差別不大，但內容體系框架有很大差異，高等數學知識更系統(tǒng)，邏輯更嚴謹。學習要求上，對于導數的幾何意義，導數的四則運算法則及簡單函數的一階導數，利用導數判斷函數單調性和求函數極值都是高中數學課程標準中要求的重點，是重點強化訓練的知識點。而在高等數學教學中建議一點而過，教學重點應放在用微分中值定理證明函數單調性的判定定理、函數極值點的第一、二充分條件定理以及曲線的凹凸性、拐點等內容上。

以上主要分析比較了高中數學與高等數學的重復知識點。除此之外，二者之間以及高等數學與后繼課程之間還存在著知識“斷裂帶”。

3 高中數學與高等數學知識的“斷裂帶”

高考對平面解析幾何中的極坐標內容不做要求，鑒于此這部分知識在高中大多是不講的；而在大學教材中，極坐標知識是作為已知知識直接應用的，如在一元函數微分學的應用中求曲率，以及定積分的應用中求平面圖形的面積等。建議在相應的地方補充講解極坐標知識。

初等數學與高等數學除了在教材內容上的銜接外，在學習思想和方法等方面的銜接也都是值得研究的課題。學生剛開始學習高等數學，不能很好地銜接，教師在教學中要注意放慢速度，幫助學生熟悉高等數學教與學的方法，搞好接軌。首先要正確處理新與舊的關系，在備課時，了解中學有關知識的地位與作用及與高等數學知識內在的密切聯系，對教材做恰當的處理；上課時教師要經常注意聯舊引新，運用類比，使學生在舊知識的基礎上獲得新知識。

總之，努力探索搞好初等數學和高等數學學習銜接問題，是學好高等數學的關鍵之一。

參考文獻

第2篇：高等函數的概念范文

關鍵詞： 高等數學； MATLAB； GUI編程； 教學輔助系統(tǒng)； 演示模塊

中圖分類號：G642 文獻標志碼：A 文章編號：1006-8228（2017）05-64-04

Design and implementation of higher mathematics computer aided teaching

demonstration system based on MATLAB GUI

Liu Bing1，2

（1. Chengde Petroleum College， Chengde， Hebei 067000， China； 2. Hebei Instruments and Meters Engineering Technology Research Center）

Abstract： According to the teaching status of higher mathematics course and the geometric meaning of important mathematical concepts and the mathematical thought that it contains， in the higher mathematics course， using MATLAB language for GUI programming， a higher mathematics computer aided teaching demonstration system for each teaching module is developed. The system is comprehensive in content， interactive， simple operation and intuitive demonstration， which is beneficial to the understanding of the concepts. The application of this system can stimulate students' interest in learning， and improve the teaching effect and teaching quality.

Key words： higher mathematics； MATLAB； GUI programming； computer aided teaching system； demonstration module

0 引言

高等笛[1]課程一直是高等院校絕大多數專業(yè)的必修基礎性課程。在傳統(tǒng)的高等數學教學模式中，教師是教學活動的主體，教師對數學概念的定義與對相關定理及結論的推導會貫穿整個課堂教學。由于學生很少參與知識的形成過程，一直處于被動的學習狀態(tài)，所以學生學習效果差。高等數學計算機輔助教學[2-6]是計算機技術與數學軟件進入數學教學后出現的一種新型教學模式，此種教學模式將先進的計算機技術引入到數學教學過程中，借助于計算機技術將數學概念所蘊含的數學思想及其幾何意義可視化、形象化，進而可實現教學內容的直觀化、通俗化，改善教學效果，提高教學質量。

當前，在高等數學計算機輔助教學中，常用的開發(fā)工具主要有PowerPoint、Flash等。這些軟件雖然都可以在不同程度上實現對高等數學教學內容的輔助教學作用[2-3]，但都存在比較明顯的不足。例如，軟件本身所具有的科學計算功能微乎其微；教學演示過程中無法做到對概念的準確與定量的描述，且它們的主要作用都體現在放映效果上，缺乏與操作人員的交互性。與這些軟件不同，Matlab[7-10]是一款具有高性能的數值計算與可視化功能的軟件，它既能進行科學計算，又具有面向對象的圖形技術與GUI功能[11-12]。利用該軟件所提供GUI圖形界面編程機制，可以使開發(fā)者輕松的設計與開發(fā)出自己所需的人機交互性良好的應用程序。近年來，伴隨著MATLAB軟件自身技術的不斷進步及其在各領域的應用，出現了許多利用MATLAB GUI開發(fā)的高等數學輔助教學系統(tǒng)[4-6]。這些系統(tǒng)可以起到一定的教學輔助效果，但系統(tǒng)的演示效果單調、乏味，且對概念的演示較為膚淺，對學生的直觀理解幫助很大。此外，系統(tǒng)的演示內容也較為單薄，對于高等數學中的一些重要知識點并未涉及。因此，本文利用Matlab的 GUI編程，從高等數學課程的教學現狀出發(fā)，依據高等數學課程中各重要數學概念的幾何意義及其數學思想，開發(fā)出了一種針對于高等數學各個教學模塊的輔助教學演示系統(tǒng)。與文獻[4-6]中的系統(tǒng)相比，本系統(tǒng)交互性良好，系統(tǒng)的設計理念與設計原則均來源于教學實踐，且演示內容全面，演示效果生動、深刻，能準確揭示出所演示概念的本質。

1 演示系統(tǒng)的設計與開發(fā)

在高等數學課程教學中，對各個重要數學概念的理解與掌握是最關鍵的。概念掌握了，與概念相關的其他教學內容，包括一些定理、推論等也就不難理解了。而對于概念的理解與掌握，最關鍵的是要借助于其具體的幾何意義。基于此，本系統(tǒng)的演示對象主要針對的是高等數學課程中一些主要教學模塊所包含的重要數學概念，而系統(tǒng)的設計依據與演示內容則為各個演示對象（即數學概念）的幾何意義。

1.1 系統(tǒng)的演示內容

高等數學課程的教學內容繁多，本系統(tǒng)重點針對四大教學內容，分別是一元函數微分學、一元函數積分學、空間解析幾何和多元函數微分學。這四大教學內容中，每部分都包含許多重要的數學概念，有導數、微分、空間曲面及偏導數等等。整個演示系統(tǒng)共有17個教學演示模塊，如圖1所示。

1.2 系統(tǒng)主界面的設計

系統(tǒng)主界面的設計主要是菜單欄的設計。菜單欄選項與圖1中系統(tǒng)各個教學演示模塊是相對應的，其設計是通過MATLAB GUIDE所提供的菜單編輯器來實現的。系統(tǒng)主菜單共有6項，其中主要菜單項有4項，分別為一元函數微分學菜單項、一元函數積分學菜單項、空間解析幾何菜單項和多元函數微分學菜單項。而對于每一個主菜單項，又會包含許多子菜單項，這些子菜單項即為最終要演示的具體對象。主界面設計完成后，運行效果如圖2所示。

2 系統(tǒng)的演示效果

本系統(tǒng)的演示模塊數量較多，由于篇幅所限，在此我們從空間解析幾何和多元函數微分學兩個主菜單中各選出一個演示模塊，來對整個系統(tǒng)的教學演示效果加以說明。

2.1 “柱面的認識與繪制”教學模塊的演示效果

“柱面的認識與繪制”教學演示模塊從屬于系統(tǒng)中的空間解析幾何主菜單項。柱面是高等數學空間解析幾何教學中的一類重要的空間幾何圖形，它有兩類基本構成要素：一個是準線，一個是母線。教材中，重點學習的是準線在坐標面上，母線垂直于該坐標面的柱面。在傳統(tǒng)的板書及PPT教學方式下，部分內容的難點在于，教師無法實現對任意給定的此類柱面的直觀繪制，這又率寡生很難理解與認識此類空間幾何圖形。

運行本演示模塊，可得如圖3（a）所示界面。在界面的參數設置區(qū)中首先選擇柱面類型，這里選擇“準線在xoy面，母線平行于z軸”類型，然后再輸入準線函數表達式2*x^2+x-2（即準線在xoy面的表達式為y=2x2+x-2），單擊“繪制圖形”按鈕，得到圖3（b）所示界面。

由以上演示過程易見，該演示模塊可實現對所學任意類型柱面的繪制。圖3（b）實現了對“準線在xoy面，母線平行于z軸”類型柱面的繪制，通過改變選擇的柱面類型并修改準線表達式，還可以繪制出其他類型的柱面。如圖4，此時，繪制的為“準線在zoy面，母線平行于x軸”且準線表達式為的柱面。

2.2 二元函數偏導數的幾何意義教學模塊的演示效果

“二元函數偏導數的幾何意義”教學演示模塊從屬于系統(tǒng)中的多元函數微分學主菜單項。偏導數是多元函數微分學教學內容中的核心概念，同時，也是學習與解決多元函數全微分、多元函數極值與最值等各類問題的基礎。學習與掌握多元函數偏導數的概念關鍵是要去理解其幾何意義。眾所周知，多元函數偏導數的實質為一元函數的導數，因此，其幾何意義仍為曲線在某點處切線的斜率。以二元函數z=f（x，y）為例，其在點（x0，y0）處對x偏導fx（x0，y0）的幾何意義為曲面z=f（x，y）與平面y=y0的交線在點（x0，y0，f（x0，y0））處切線的斜率；其在點（x0，y0）處對y偏導fy（x0，y0）的幾何意義則為曲面z=f（x，y）與平面x=x0的交線在點（x0，y0，f（x0，y0））處切線的斜率。在傳統(tǒng)的板書教學與PPT演示教學中，此部分教學內容的難點在于教師不能夠靈活、直觀、準確地繪制出任意所給定的二元函數z=f（x，y）所表示的曲面與相應平面的交線，這樣，致使學生對于其幾何意義的認識不直觀、不深刻。

運行該模塊，可得如圖5（a）所示界面。在該界面中，當在參數設置區(qū)內輸入二元函數的表達式f（x，y）及（x0，y0）點的具體值并選擇求偏導的類型后，當點擊“計算偏導”按鈕，可以計算出輸入的二元函數在輸入點（x0，y0）處關于選定的偏導的類型的偏導數。之后，當點擊“演示幾何意義”按鈕，可形象直觀地繪制出相應計算出的偏導數的幾何意義。例如，當輸入的二元函數為2*x^2+x*y^2+x*y（即書面中的函數2x2+xy2+xy），x0為1，y0為1，選擇求偏導類型為“對x求偏導”，點擊“計算偏導”按鈕，之后，點擊“計算偏導”按鈕，可形象直觀地繪制出其幾何意義，如圖5（b）。

由圖5（b）易見，該演示模塊可實現對所輸入的任意二元函數在任意點（x0，y0）處的偏導數。本例中，求得的f（x，y）在點（1，1）處對自變量x的偏導值fx（1，1）為6。除此以外，該演示模塊最大的優(yōu)勢在于可以直觀、生動的演示出fx（1，1）的幾何意義。由圖5（b），易知，該演示模塊界面左側的空間直角坐標系中可顯示出此時曲面z=2x2+xy2+xy與平面y=1的交線；而與此同時，為了更直觀的來理解fx（1，1）的幾何意義，演示模塊界面右側，則將該交線從空間直角坐標系中分離出來，將其放置在平面y=1內部的平面直角坐標系（該坐標系橫軸為x軸縱軸為z軸）內，此時該平面曲線在點（1，4）的切線（即圖5（b）中右側坐標系中紅色的切線）的斜率即為fx（1，1）的幾何意義。當然，通過改變偏導的類型，選擇“對y求偏導”，也可以類似的獲得f（x，y）在點（1，1）處對自變量y的偏導值fy（1，1）及其幾何意義。

3 結束語

本文中所研發(fā)的基于MATLAB GUI的高等數學輔助教學演示系統(tǒng)，人機交互性良好，演示內容全面，演示手段豐富且演示效果生動、深刻，能準確的揭示出所演示數學概念的本質，因而，更能貼近于教學實踐。從實踐教學活動中的應用來看，學生對系統(tǒng)的交互性使用及其演示效果均較為滿意。下一步，計劃將高等數學中一些更為復雜的教學模塊（包括多元函數積分學及級數等）引入到模塊中來，從而實現對整個高等數學課程知識點的全覆蓋。

參考文獻（References）：

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[5] 崔秋珍.基于MATLAB的高等數學試驗系統(tǒng)設計與圖形界面系統(tǒng)實現[D].西安建筑科技大學碩士學位論文，2006.

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[8] 陳杰.MATLAB寶典[M].電子工業(yè)出版社，2007.

[9] 葛哲學.精通MATLAB[M].電子工業(yè)出版社，2008.

[10] 張志涌，楊祖櫻.MATLAB教程[M].北京航空航天大學出版社出版，2015.

第3篇：高等函數的概念范文

【關鍵詞】高等數學 連續(xù)性 體驗式學習

【中圖分類號】G633.66 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）4-0080-01

所謂體驗式學習，簡單的說就是通過實踐來認識周圍事物。最早提出體驗式學習模型的學者是美國的教育家科爾布。科爾布認為學習不是內容的獲得與傳遞，而是通過經驗的轉換從而創(chuàng)造知識的過程。數學課程中的體驗式學習是指在數學教學中教師積極創(chuàng)設教學情景，引導學生自然過渡到教學氛圍中，并激發(fā)出學生學習數學的內驅動力，使學生積極地由被動到主動、由依賴到自主、由接受性到創(chuàng)造性地自主對數學學習過程進行體驗。

體驗式學習分為四個步驟：第一步，實際經歷和體驗。創(chuàng)設情境，使學生投入到當時當地的實際體驗活動中；第二步，觀察和反思。引導學生從多個角度觀察和思考實際體驗活動和經歷；第三步，抽象概念和歸納的形成。通過觀察與思考，抽象出合乎邏輯的概念和理論；第四步，在新環(huán)境中測試新概念的含義。運用這些理論去作出決策和解決問題，并在實際工作中驗證自己新形成的概念和理論。

函數的連續(xù)性是《高等數學》中一個重要的概念，在高等數學體系中有著重要的地位。首先，連續(xù)性為微積分夯實了基礎。17世紀下半葉，以牛頓和萊布尼茨為代表的數學家們創(chuàng)立了微積分，解決了很多實際問題。但當時的微積分從概念到推導都是不夠嚴密的， 19世紀前后，數學家們?yōu)榱耸刮⒎e分更嚴密，抓住了極限和連續(xù)這兩個本質概念，使用數量化的語言精確的定義了極限和連續(xù)，使微積分有了嚴密牢靠的基礎，最終形成了完整的理論體系。連續(xù)的教學內容可以從“函數在一點處的連續(xù)”開始，到“函數在區(qū)間的連續(xù)”，接著進一步討論“閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質”。以下基于體驗式學習理論設計教學過程。

一、創(chuàng)設情境，引入概念

教師在課件中給出一個群山的圖片，引導學生觀察、描述群山的輪廓。教師：“伽利略說過：宇宙是永遠放在我們面前的一本大書，而這本書是用數學語言寫成的。數學可以幫助我們更精準地認識世界。請大家觀察這群山的輪廓，你可以試著用數學的語言來描述它嗎?”

由于群山的輪廓是學生已有的經驗，再加上科學家的名言，很容易達到引人入勝的效果。學生自然會說道，“連綿不斷”、“一條連綿不斷的曲線”的描述。教師予以肯定：“平面上的一條連綿不斷的曲線可以抽象成數學里一個連續(xù)函數的圖像。這就是本節(jié)課的研究對象。” 這一教學過程間斷有效，使學生印象深刻，體現了體驗式學習的第一步。

二、觀察歸納，形成概念

有了第一步直觀的感受，接下來就是精確的刻畫連續(xù)的數學定義，這是這堂課的難點。教師可給出函數在一個點連續(xù)和函數在一個點有跳躍間斷點兩張圖片，引導學生從函數值該變量的角度觀察比較、分析歸納，探尋函數在一個點出連續(xù)的精確定義。通過演示課件，讓學生看到函數的連續(xù)的情況下，隨著自變量改變量的不斷減少，雖然兩個圖像中的函數值改變量都是在不斷減少，但函數的連續(xù)本質是函數值該變量可以無限小，而跳躍間斷點的情形則始終大于一個固定的值，這就是連續(xù)與不連續(xù)的本質區(qū)別。通過這樣的體驗，學生很容易理解連續(xù)的概念。同事也可以融匯前面的極限的知識，自出寫出函數連續(xù)的精確定義，即函數在一點連續(xù)就是在這一點處當自變量該變量趨于零時，函數值改變量也趨于零。

三、討論研究、推廣概念

得出了函數在一個點處連續(xù)定定義，進一步，如果一個函數在一個區(qū)間中的每一個點都連續(xù)，則稱作該函數在這個區(qū)間連續(xù)。討論一般初等函數在定義區(qū)間中都是連續(xù)的。初等函數是高等數學中經常用到的函數，那么連續(xù)函數在區(qū)間中連續(xù)的性質的討論就顯得很有必要。觀察閉區(qū)間連續(xù)的函數的性質，不難發(fā)現如果一個函數在一個比區(qū)間連續(xù)，如果從一個負值變化成一個正值，那么，幾何上，函數圖象一定會經過x軸至少一次。解析的角度就是該函數在區(qū)間內至少有一個零點。這是著名的零點定理。用這樣的方式進行推廣概念，過渡自然，承上啟下。

四、建立模型，應用概念

學生知道了零點定理的定理表述，那么這個定理究竟可以幫助解決什么實際問題呢？這個部分體驗式學習可以充分顯示出其優(yōu)勢。教師提出一個問題情境。

“登山運動員第一天早上七點鐘出發(fā)，經過十二個小時的艱難跋涉于晚上7點到達山頂。在山上住了一晚，第二天早上7點出發(fā)沿原路下山，又經過了十二個小時，于晚上7點到達山腳。問題是，是否存在某個時刻，兩天里運動員在這個時刻經過同一個地點？”

引導學生體驗問題的過程，將題干中的文字敘述建立模型，轉化成為數學中兩條曲線是否具有交點的問題，進一步轉化成零點存在問題，再利用零點定理證明其存在。學生親身體會到了零點定理的妙用。才能更加深刻的理解這個概念，從而掌握定理的用法。

參考文獻：

[1] 高等數學 科學出版社 2012.8

第4篇：高等函數的概念范文

    ,性質

    首先是初等函數相關問題分析:

    1.絕對值函數的概念及性質

    絕對值函數是個很廣的概念,可分為兩大部分,一部分是絕對值施加在X上的,另一部分是絕對值號施加在Y上的,如y=|x| |y|=x 就記住絕對值號在誰上頭就把原圖像根據哪一個軸做軸對稱變換,記住這一點,不管多復雜的解析式都可以照此辦理.絕對值函數可以看作初等函數。

    1.1絕對值函數的定義域,值域,單調性

    例如f(x)=a|x|+b是

    定義域:即x的取值集合,為全體實數;

    值域: 不小于b的全體實數

    單調性:當x<0,a>0時,單調減函數;

    > > 增 ;

    < < 增 ;

    < < 減 ;

    1.2絕對值函數圖象規(guī)律:

    |f(x)|將f(x)在y軸負半軸的圖像關于x軸翻折一下即可,在y軸正半軸的圖像不變。

    f(|x|)將f(x)在x軸負半軸的圖像關于y軸翻折一下即可,在x軸正半軸的圖像不變。。

    1.3帶絕對值的函數求導,即將函數分段。

    2.取整函數的概念與性質

    2.1取整函數是:設x∈R , 用 [x]或int(x)表示不超過x 的最大整數,并用"{x}"表示x的非負純小數,則 y= [x] 稱為取整函數,也叫高斯函數。任意一個實數都能寫成整數與非負純小數之和,即:x= [x] + {x},其中{x}∈[0,+∞)稱為小數部分函數。

    2.2取整函數的性質:a 對任意x∈R,均有x-1<[x]≤x<[x]+1.b對任意x∈R,函數y={x}的值域為[0,1).c 取整函數(高斯函數)是一個不減函數,即對任意x1,x2∈R,若x1≤x2,則[x1]≤[x2].d 若n∈Z,x∈R,則有[x+n]=n+[x],{n+x}={x}.后一式子表明y={x}是一個以1為周期的函數.e若x,y∈R,則[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1.f 若n∈N+,x∈R,則[nx]≥n[x]. g 若n∈N+,x∈R+,則在區(qū)間[1,x]內,恰好有[x/n]個整數是n的倍數.h 設p為質數,n∈N+,則p在n!的質因數分解式中的冪次為p(n!)=[n/p]+[n/p^2]+…

    3.導數的概念與性質

    3.1導數,是微積分中的重要基礎概念。當自變量的增量趨于零時,因變量的增量與自變量的增量之商的極限。。在一個函數存在導數時,稱這個函數可導或者可微分。可導的函數一定連續(xù)。。不連續(xù)的函數一定不可導。導數實質上就是一個求極限的過程,導數的四則運算法則來源于極限的四則運算法則。導數另一個定義:當x=x0時,f‘(x0)是一個確定的數。這樣,當x變化時,f'(x)便是x的一個函數,我們稱他為f(x)的導函數(簡稱導數)。

    3.2求導數的方法

    (1)求函數y=f(x)在x0處導數的步驟:① 求函數的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);② 求平均變化率;③ 取極限,得導數.

    (2)幾種常見函數的導數公式: ① C'=0(C為常數函數);② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q); ③ (sinx)' = cosx;④ (cosx)' = - sinx;⑤ (e^x)' = e^x;⑥ (a^x)' = a^xlna (ln為自然對數);⑦ (Inx)' = 1/x(ln為自然對數;⑧ (logax)' =(xlna)^(-1),(a>0且a不等于1).

    補充:上面的公式是不可以代常數進去的,只能代函數,新學導數的人往往忽略這一點,造成歧義,要多加注意。

    (3)導數的四則運算法則: ①(u±v)'=u'±v'; ②(uv)'=u'v+uv'; ③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2.

    (4)復合函數的導數

    復合函數對自變量的導數,等于已知函數對中間變量的導數,乘以中間變量對自變量的導數--稱為鏈式法則。

    4.高等函數的概念以及含義問題

    4.1一元微分

    1)一元微分是設函數y = f(x)在x.的鄰域內有定義,x0及x0 + Δx在此區(qū)間內。如果函數的增量Δy = f(x0 + Δx) ?f(x0)可表示為 Δy = AΔx + o(Δx)(其中A是不依賴于Δx的常數),而o(Δx0)是比Δx高階的無窮小,那么稱函數f(x)在點x0是可微的,且AΔx稱作函數在點x0相應于自變量增量Δx的微分,記作dy,即dy = AΔx。

    通常把自變量x的增量 Δ   x稱為自變量的微分,記作dx,即dx = x。于是函數y = f(x)的微分又可記作dy = f'(x)dx。函數的微分與自變量的微分之商等于該函數的導數。因此,導數也叫做微商。 當自變量X改變?yōu)閄+X時,相應地函數值由f(X)改變?yōu)閒(X+X),如果存在一個與X無關的常數A,使f(X+X)-f(X)和AX之差是X0關于X

    的高階無窮小量,則稱A·X是f(X)在X的微分,記為dy,并稱f(X)在X可微。一元微積分中,可微可導等價。記A·X=dy,則dy=f′(X)dX。例如:d(sinX)=cosXdX。

    2)其幾何意義為:設Δx是曲線y = f(x)上的點M的在橫坐標上的增量,Δy是曲線在點M對應Δx在縱坐標上的增量,dy是曲線在點M的切線對應Δx在縱坐標上的增量。當|Δx|很小時,|Δy-dy|比|Δy|要小得多(高階無窮小),因此在點M附近,我們可以用切線段來近似代替曲線段。

    4.2多元微分

    1)多元微分的概念:與一元微分同理,當自變量為多個時,可得出多元微分的定義。

    2)多元微分的運算法則

    dy=f'(x)dx

    d(u+v)=du+dv

    d(u-v)=du-dv

    d(uv)=du·v+dv·u

    d(u/v)=(du·v-dv·u)/v^2

    3)微分表

    d(x^3/3)=x^2dx

    d(-1/x)=1/x^2dx

    d(lnx)=1/xdx

    d(-cosx)=sinxdx

    d(e^(x^2)/2)=xe^(x^2)dx

    高等函數中還有值定理與導數應用、泰勒中值定理、曲率、方程的近似解、不定積分、定積分、平面曲線的弧長、、可降階的高階微分方程、二階常系數非齊次線性微分方程、向量代數與空間解析幾何、重積分及曲線積分以及無窮級數等,本文就簡單的函數問題做一總結。

    【參考資料】

    1.復變函數論.高等教育出版社,2004,01.

    2.實變函數簡明教程.高等教育出版社 2005,5,.

第5篇：高等函數的概念范文

關鍵詞：高等數學 教學法 創(chuàng)新

中圖分類號：G642文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2014）02（b）-0000-00

科研能力和科研成果標志著一個國家的科技水平，培養(yǎng)具有創(chuàng)新意識和科研能力的人才是高等院校所面臨和必須解決的實際問題，然而科研能力的培養(yǎng)并非要從研究生階段才開始著重培養(yǎng)，在本科階段的教學中給學生盡早接觸科研的機會，讓學生從本科階段開始培養(yǎng)一種標新立異提問題的習慣至關重要。而對本科生科研能力的培養(yǎng)最主要的途徑就是在對其傳授知識的過程中完成的。高等數學作為高等院校各院系一門重要的公共基礎課之一對學生在四年大學生活中扮演著重要的角色，高等數學中微積分的創(chuàng)立、一元微積分到多元微積分的發(fā)展以及各個重要概念的產生無不透露出數學家發(fā)現問題和解決問題的思路，如果能夠從中進行引導，找到適合的切入點，逐步在學習過程中讓學生積累素材并培養(yǎng)一種問“好”問題的習慣，本科學生一樣可以接觸科研。

培養(yǎng)學生的科研能力，最重要的是培養(yǎng)學生發(fā)覺問題的能力，而這首先要求學生改變以往的學習模式，即由被動的接受到主動的思考創(chuàng)造的學習模式的轉變，這種學習模式的轉變進而要求教師授課模式的轉變。本文就講透基本概念，引導學生發(fā)現學科的不足及類比教學等幾方面來談談如何引導學生轉變學習模式，進而培養(yǎng)學生的科研能力。

1 講透基本概念

數學中最重要的就是基本概念，基本概念把握不透到頭來學生可能只會做部分簡單的習題。事實上，高等數學授課的主要目的并非讓學生學會如何計算導數和微分，更多的是該讓學生把握數學思想，深刻理解數學概念。深刻理解概念即要把握概念的本質。以極限概念為例，怎么理解數列 ，如果只是按照書上的定義把 語言寫出來還遠遠不夠，應該告訴學生極限最本質的東西就是用距離去刻畫，即數列和某個定點的距離當 時無限接近。知道了這一點，平面上一個點列 的概念自然就有了，同樣我們用點列和點的距離當 時無限接近去刻畫。只是需要注意的一點的是，平面上兩點間的距離不能再用絕對值了，而是用

進而到 維空間中乃至無窮維空間中如何定義點列收斂我們都可以知道，關鍵是距離起著重要作用。再以函數可微概念為例，很多學生只知道 ，至于為什么求微分，以及什么是可微函數不知道。這些就需要老師在講授這個基本概念的時候介紹清楚，讓學生搞透這個概念。事實上，一個函數是不是可微就是看這個函數的增量與其自變量的增量是否可成一個線性比例關系，即 是否成立，知道了這一點，可以立即讓學生去思考如果是一個二元函數 是否可微該如何定義？按照上面的說法，二元函數的增量和其自變量的增量是否成線性比例關系，二元函數的變量是兩個，即看 是否成立？同樣多元函數的可微性乃至一個泛函的可微性理解起來都很簡單了。搞透數學中的基本概念這是讓學生能夠不斷思考并發(fā)現問題的前提。

2 引導學生發(fā)現學科的不足

無論哪門學科之所以產生、發(fā)展，往往源于人們對已有相關學科的不滿以及該學科創(chuàng)立時的不完善。作為教師，應當更多地呈現給學生所講學科的不足及存在的問題，這樣學生才有思考的余地，把學科的不足及問題隱藏起來而只把學科完美的漂亮的結果展現給學生，那么他們就只會做練習而永遠也不會去創(chuàng)作東西。要知道，正是當年微積分的不完善才有了極限的產生。數學就是在不斷地發(fā)現學科的不足并改進的過程中逐步完善起來的。眾所周知，數學史上曾發(fā)生過三次數學危機，可每一次危機都沒有前人的理論而只是在數學這座漂亮的高樓大廈上添磚加瓦而已，危機使數學更加完善了，危機的產生正是由于學科本身的問題和不足導致的。

當講完定積分時不能讓學生認為定積分是完美無暇的，應該讓學生尋找這個概念的不足之處，比如狄利克雷函數 ，這樣簡單的函數為何不可積？可能有人認為這是實變函數的內容超出了高等數學的范圍，事實上不是這樣的。通過讓學生尋找定積分的不足可以鍛煉學生的一種思維方式，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識。人人都認為所創(chuàng)造出來的學科是神圣不可侵犯的話就不會有所發(fā)展了，這給了學生一種提出質疑的態(tài)度，培養(yǎng)了學生問問題的一種習慣，久而久之，學生的科研能力也能加強。另一方面，我們可以告訴學生黎曼積分不是那么完美的，因為還有一種更廣泛的積分就是勒貝格積分，告訴學生在微積分之后還有一門后續(xù)課程是實變函數，感興趣的同學會自己去查閱。同時我們可以用形象地數錢地方式告訴學生什么是黎曼積分，什么是勒貝格積分。有一搭錢，我想知道數目是多少，從頭開始累加而不管其面值是多少可以得出最后的數目這就是黎曼積分，如果會打理一些，把面值相同的錢先放在一起，5元，10元，100元，再數各面值的有多少張，最后算和這就是勒貝格積分。這樣不僅提高了學生的興趣，加深了他們對概念的理解，也開闊了學生的思維。

3 類比教學

數學中有很多基本概念都是相近的，作好相似、相近或相關概念的歸納比較，展示概念之間的內在聯系和本質區(qū)別，讓學生在比較中學習，從比較中加深理解，從整體上把握所學到的諸多概念，這樣既可以學習新知識又可鞏固舊知識。以無窮積分與無窮級數為例，從定義來講，無窮級數 與無窮積分 的基本概念之間存在離散與連續(xù)的對應關系：

，

（前提是極限都存在）。這樣很容易得出p級數 與 有相同的斂散性（這是教材的一個定理），這樣學生能自己去給出這個定理，不僅很快掌握了，而且有著自己發(fā)現定理的成就感。

3 結語

高等數學的教學要使學生不僅知道許多重要的數學概念、方法，而且領會到數學的精神實質和思想，從而在自己所學的領域中不斷發(fā)現問題并運用其相同或相近的思想解決問題。只有轉變了學生從被動接受到主動思考創(chuàng)造的學習模式，才能培養(yǎng)其科研能力。

參考文獻

第6篇：高等函數的概念范文

關鍵詞： 高數概念教學 概念本質 整體性教學 思維能力

一直以來，高等數學的教學質量與高等教育中人才的培養(yǎng)息息相關。而高數概念教學作為高數教學中一個很重要的環(huán)節(jié)，應當引起足夠的重視。所謂數學概念是反映一類事物在數量關系和空間形式方面的本質屬性的思維方式，往往脫離了事物的具體屬性，具有相對獨立性，抽象與具體雙重性，邏輯聯系性。我認為在高數概念教學中應注意以下幾個方面。

一、教學中應注重對概念進行概括提煉

高數概念的內涵就是指那個概念所包括的一切對象的共同的本質屬性的總和，概念的外延就是適合那個概念的一切對象的范圍。在高數教學中，教師應能注重提取出概念的內涵，并能引導學生抓住抽象的詞語、符號和術語中的本質，讓學生一開始就對這個概念有一個明確的認識。例如，在極限概念的教學中，由于極限概念包含了數列極限和函數極限，而且函數極限中還包含自變量x各種變化情況，因此導致學生難以理解，在極限概念使用中出現種種不足甚至錯誤，如學生可能會產生下列錯覺：數列必單調地趨于極限，數列只能從一側趨于極限，數列的項不能等于極限，等等。產生這種學習困難的最大原因就是學生并未真正弄清楚極限語言中所蘊含的概念本質。所以在極限的概念教學中，教師應該盡可能提煉出極限概念的本質，可以提煉成一句話：極限就是自變量變化過程中，分析函數因變量的變化情況。在教學中，應對概念分析出本質后，再給出多種形式的具體例子，排除學生在概念學習中受到的非本質屬性的干擾，使學生一開始就感知到數列可以不同的方式趨于極限，從而將注意力集中到對極限本質的認識上。

二、在概念教學中應加強整體性教學

美國著名教育家布魯納曾說：“學生獲得的知識知果沒有完整的結構把它聯系起來，那是一種多半會被遺忘的知識。”在高數概念的教學中，教師應重視其整體結構的性質，可以說，數學概念的發(fā)展是體系化的、網絡狀的發(fā)展，別的數學概念通過改變內涵和外延獲得發(fā)展，發(fā)展的新概念與原有概念形成概念體系，個別概念既反映自身來自于其他概念的關系，又反映來自系統(tǒng)的整體性質。因此，在數學概念教學中，教師必須加強整體觀念，把個別概念置于概念體系之中。把新概念置于舊概念之中，通過比較個別與整體、新概念與舊概念的區(qū)別，揭示個別與整體、新概念與舊概念間的聯系，確定好個別概念在概念體系中的相對位置，使學生在對知識不斷更新、改造、組織、整理的過程中，形成有序完整的概念整體結構，這能幫助學生弄清楚所學概念間的區(qū)別和聯系。以導數概念的教學為例，導數的概念作為微積分知識的基礎，如果學生不能做到對概念真正理解和掌握，將會影響對后續(xù)導數的學習。雖然導數概念作為一個全新的概念，但是教師在講解時，應加強概念整體性教學，將導數與之前學習過的極限聯系起來講解，特別是講解清楚導數概念與極限之間的聯系。導數就是一類特殊的極限，和之前學習的無窮小、無窮大這類特殊的極限類似；又如不定積分與定積分，兩個概念的本質有著很大區(qū)別，但又有微積分基本定理將兩個概念聯系在一起，相當一部分定積分可以通過不定積分（原函數）來求。這種整體性教學的最大好處是更利于學生真正掌握所學的新概念，更能加強學生對前后所學知識的整體理解，達到將所學知識融會貫通。

三、在概念教學中應注重對學生思維能力的培養(yǎng)

數學教師在數學概念的教學中，應當注重學生思維能力的培養(yǎng)，體現發(fā)現問題、解決問題的思維過程，通過自己的思維過程，誘導學生的思維過程，這是數學教學概念的教學活動成功進行的保證。為此，在高數概念教學中，要善于引導和啟發(fā)學生認識概念建立的必然性及概念體系的發(fā)展過程，培養(yǎng)學生的思維能力，引起學生的學習興趣。學生作為學習的主體，只有引起學生的學習興趣，才能更好地完成數學概念的教學。比如，在某些高數概念的教學中，我們可以利用概念的特點設置疑問，提出問題，然后從疑問入手，層層剝離，得出結論，從中培養(yǎng)學生探索求異的精神。以多元函數微分學的概念教學為例，多元函數微分學也是高數中的重要內容之一，涉及大量的概念，對概念的講述，不僅是拓展大學生思維的良好素材，而且是培養(yǎng)學生探索精神的很好實例。在教學中可與一元函數的相應概念作類比，我們可向學生提出以下問題：與一元函數的極限定義比較，區(qū)別在哪里？為什么會存在這種差異呢？講授偏導數概念時，也可對比提出：對于一元函數，可導則比連續(xù)，對于多元函數是否有類似的性質呢？合偏導數是否都相等呢？具備怎樣的條件才相等呢？等等。這個過程不但能夠讓教師很好地完成數學概念的教學，更能夠達到充分啟發(fā)學生和有效地提高學生的探索意識與思維能力的目的。

總之，能否把高數概念講好，直接影響高數教學效果的好壞。只有在高數概念講解時注重概念本質的講解，講清楚概念間的區(qū)別聯系，才能更好地完成高數概念的教學工作和提高學生的思維能力，取得良好的教學效果。

參考文獻：

[1]胡傳孝.高等數學的問題、方法與結構[M].武漢大學出版社，2000.

第7篇：高等函數的概念范文

關鍵詞:連續(xù);偏導數;可微分

中圖分類號:O172

文獻標識碼:A

文章編號:1672-3198(2010)09-0211-01

1 問題的提出

多元函數是一元函數的推廣,學習多元函數微分學,一定要弄清連續(xù)、偏導數、全微分之間的關系,才能更好地掌握和使用這些基本概念。本文通過作者幾年的教學實踐經驗,以二元函數為例,總結和完善了多元微分學幾個概念間的關系和實例說明,以便給廣大教師提供更有價值的參考,同時若能給正在學習的新生和正在考研的學生以點撥,將會起到很大的效果。

2 幾個重要概念間的相互關系及其反例

本節(jié)首先對教材中的結果,以定理的形式加以總結,使結論更加簡潔明了。并以推論的形式給出了二元函數在點(x0,y0)處連續(xù)、偏導數、可微間的關系,并給出具有代表性的例子以驗證推論的正確性,使結果更加具有說服力。

定理1若函數z=f(x,y)在點(x,y)處可微,則函數z=f(x,y)在點(x,y)處

(1)連續(xù);

(2)偏導數存在,且dz=zxdx+zydy

說明:這個定理給出了全微分存在的必要條件,作為教材上的結果,本文不再加以證明。與一元函數不同,這些條件都不是充分條件。由此得到以下七個推論:

推論1:對多元函數,連續(xù)未必偏導數存在,從而也未必可微。

反例:函數f(x,y)=|x|,在(0,0)點顯然連續(xù),但fx(0,0)卻不存在。

推論2:對多元函數,偏導數存在未必連續(xù)。

例如:函數

f(x,y)=xyx2+y2,x2+y2≠00,x2+y2=0

依定義知在(0,0)處,fx(0,0)=fy(0,0)=0但函數在該點處并不連續(xù).

推論3:偏導數存在未必可微。

例如:函數

f(x,y)=xyx2+y2 x2+y2≠00 x2+y2=0

依定義知在(0,0)處,fx(0,0)=fy(0,0)=0但函數在該點處并不可微。說明如下:

Δz-[fx(0,0)•Δx+fy(0,0)•Δy]=Δx•Δy(Δx)2+(Δy)2),

P′(Δx,Δy)如果考慮點沿著直線y=x趨近于(0,0),則

Δx•Δy(Δx)2+(Δy)2ρ=Δx•Δx(Δx)2+(Δx)2=12,

說明它不能隨著ρ0而趨于0,當ρ0時

Δz-[fx(0,0)•Δx+fy(0,0)•Δy]≠O(ρ),

因此函數在點(0,0)處不可微。

盡管偏導數存在未必可微,但在偏導數都存在且連續(xù)的時候函數一定可微。即

定理2:若函數z=f(x,y)在點(x,y)處偏導數存在且偏導數連續(xù),則函數z=f(x,y)在點(x,y)處一定可微。

推論4:函數f(x,y0)在點x=x0連續(xù),函數f(x0,y)在點y=y0也連續(xù),但函數f(x,y)在點(x0,y0)不一定連續(xù)。

例如:f(x,y)=0 xy≠01 xy=0.在原點就是這樣。

3 結束語

正是因為由函數在某個方向上的極限存在性,并不能推出其二重極限的存在性,導致了二元函數諸多關系的復雜性。事實上,關于二元函數在點(x0,y0)處極限、連續(xù)、偏導數、可微、方向導數間的關系,可以看到反例的討論基本都在轉折點(特殊點)處。這與我們所學知識是依存的,在學習每個概念的初始階段,我們都在強調,對于特殊點處的性質,只能按照定義去進行討論,因特殊點處是最容易出現以外的地方。

參考文獻

[1]華東師范大學數學系.數學分析[M].北京:高等教育出版社,2001.

[2]裴禮文.數學分析中的典型問題與方法[M].北京:高等教育出版社,2003.

[3]何鵬,俞文輝,雷敏劍.二元函數連續(xù)、可偏導、可微等諸條件間關系的研究[J].南昌高專學報,2005,(6).

第8篇：高等函數的概念范文

關鍵詞： 極限 計算方法 錯誤剖析

極限是研究函數的重要工具，也是高等數學中最基本的概念之一，極限計算是高等數學課程要求熟練掌握的一種運算，對于后續(xù)內容的學習具有重要意義.處于高等數學入門階段的學生，在計算極限時常常會出現各種錯誤，究其原因，一方面是由于學生對極限理論的嚴謹性不夠重視，另一方面是由于學生的思維品質有待進一步提升.數學教學應高度重視學生思維品質的培養(yǎng)，對學生在極限計算中的錯誤作分析和訂正，既幫助學生加深對極限理論的認識，又能夠提升其思維品質.

一、對極限概念理解不透徹導致混淆不同類型的函數極限

函數極限刻畫了自變量某個變化過程中對應函數的變化趨勢，因而計算函數極限，既要關注自變量的變化過程，又要關注函數的解析式.然而，部分學生在計算極限時，會忽略自變量的變化過程，只關注函數的結構特點選用方法.

例1：計算■■.

錯誤解法：■■=■■=■=■=0.

正確解法：■■=■■=■■=■.

學生錯用自變量趨于無窮大的極限計算方法，計算自變量趨于有限值的函數極限，并誤認為■■=0，■■=0.這表明學生對極限概念理解不透徹，不清楚函數極限所刻畫的函數變化趨勢是與自變量的變化過程相聯系的.教學中，可通過分析函數y=■的圖像，讓學生直觀地認識x4和x∞的函數極限，提醒學生在計算極限時注意自變量的變化過程，正確地選擇計算方法.

例2：計算■■.

錯誤解法：由重要極限，有■■=1.

正確解法：■■=■■sinx=0.

由于只注意到題目中的函數與重要極限■■=1中的函數相同，忽略了自變量的變化過程與公式不符，結果得出錯誤的答案.事實上，當x∞時，sinx是有界函數，■是無窮小，根據有界函數與無窮小的乘積是無窮小，此題的極限是0.

極限概念體現了數學是一個嚴謹細致的學科，教師應該在數學教學中重視培養(yǎng)學生思維的嚴謹性.

二、對極限理論的認識不足導致主觀臆造公式

函數的有窮極限與函數的無窮極限，在性質上有所不同[1].當函數的極限為無窮大時，按照函數極限的定義，極限是不存在的.涉及無窮大的極限運算，其結果有多種情況，詳見文[1].由于學生對有窮極限與無窮極限的認識不足，會錯把有窮極限的運算性質搬到無窮極限的運算中.

1.臆造無窮極限的四則運算法則

極限的四則運算法則要求其中的每一個函數都存在極限，商式的分母極限不能為0，而對于無窮極限的四則運算，上述法則是不成立的.有的學生不加推理地把它們搬到無窮極限的運算中，臆造無窮極限的四則運算法則.

例3：計算■（■-■）.

錯誤解法：■（■-■）=■■-■■=∞-∞=0.

正確解法：■（■-■）=■■=■■=1.

學生在無窮極限的運算中使用了函數極限的四則運算法則，并且主觀臆造了無窮極限的運算公式：∞-∞=0.教師在教學中有必要向學生強調無窮極限與有窮極限的不同，促使學生以嚴謹細致的態(tài)度分析問題，從而準確地計算極限.

2.臆造無限個函數的極限運算法則

關于和、差、積的極限運算法則，可以推廣到有限個函數的情形，部分學生仿照此法則臆造了無限個函數的極限運算法則.

例4：計算■（■+■+…+■）.

錯誤解法：

■（■+■+…+■）=■■+■■+…+■■=0+0+…+0=0.

正確解法：因為■≤■+■+…+■≤■，

又■■=■■=1，由夾逼準則，有

■（■+■+…+■）=1.

對于無限個函數的和的極限，必須先把無限項的和轉化為有限項的情形，常用的轉化方法有利用數列的前n項和公式、夾逼準則等.教師應引導學生整理清楚相關的知識和方法，促使學生正確地運用公式和方法.

3.臆造冪指函數的極限公式

文[2]中給出了冪指函數的一個極限公式.如果limu（x）=a>0，limv（x）=b，那么Limu（x）■=a■.

公式要求a>0，且a，b都必須是有限實數.若limu（x）=∞或limv（x）=∞，則limu（x）■是未定式，不能用上述法則.

例5：計算■（■）■.

錯誤解法：■（■）■=（■■）■=1■=1.

正確解法：■（■）■=■（1-■）■=e■.

學生在未定式中錯用了冪指函數的極限公式，并且自己臆造了公式：1■=1.可見，分清有窮極限與無窮極限的運算性質，是正確運用公式和法則的前提保障.

三、對極限定理和公式的嚴謹性不夠重視導致錯用公式

與中學數學相比，高等數學更嚴謹深入，初學高等數學的學生，由于思維的嚴謹性不足，在運用定理或公式時，往往會忽略對其使用條件的判斷，或誤解定理、公式的結論.

1.忽略洛必達法則的條件判斷導致錯用公式

洛必達法則給出了■型未定式與■型未定式的極限計算法則，其只能用于未定式的極限計算，如果不符合條件也用法則，則必然導致計算錯誤.

例6[2]：計算■■.

錯誤解法：■■=■■=■■=■■=1.

正確解法：■■=■■=■■=■.

在此例的錯誤解法中，連續(xù)三次使用了洛必達法則，事實上，■■已不再是■型未定式，不能再用洛必達法則，而應利用連續(xù)函數的性質計算極限.在用公式法則之前，應注意相關條件的判斷，才能避免犯這樣的錯誤.

2.對等價無窮小替換理解錯誤導致錯用公式

求兩個無窮小之比的極限時，分子及分母都可用等價無窮小來替換，但若分子或分母是和式，就不能將和式中的某一項或某幾項用等價無窮小替換.

例7：計算■■.

錯誤解法：■■=■■=0.

正確解法：■■=■■=■■=■.

當x0時，tanx～x，sinx～x，但tanx-sinx與x-x不是等價無窮小，不能對分子中的每一項分別作替換，需要將分子改寫為乘積形式.當x0時，由于1-cosx～■x■，因此tanx（1-cosx）～x?■x■，可以將改造后的分子用x?■x■替換.由于學生不重視對公式的深入理解，因此不能正確判斷什么情況下可以替換，什么情況下不能替換，導致解題錯誤.教師在教學中應向學生分析透徹等價無窮小替換的原理，才能確保學生準確靈活地運用公式.

以上極限計算中出現的錯誤，反映出學生對極限概念、極限理論，以及公式法則理解不透徹，解題分析缺乏嚴謹性.一方面，教師在極限教學中重視學生思維品質的培養(yǎng)，有利于學生加深對極限的理解，靈活地掌握好極限的計算.另一方面，學生堅持以嚴謹認真的態(tài)度對待學習和解題，能夠進一步提升思維品質.

參考文獻：

第9篇：高等函數的概念范文

關鍵詞: 函數極限 無窮小 復合函數

1.引言

高等數學是工科院校最重要的基礎課程,又是理工科學生進入大學首先必須接觸的課程之一,具有高度抽象性、嚴密邏輯性和廣泛適用性。它既是學習后繼課程的基礎,又是對大學生思維習慣和學習方法的訓練。而且,中學與大學的學習方式和思考問題的方法有較大的區(qū)別。所以,從中學升到大學的學生,常常對大學的教學方式感到困惑或難以適應。因此,高等數學教師就必須承擔起讓他們盡快從中學的學習和思維方式轉變到大學的學習和思維方式的引導任務。高等數學的教學就需要從思維習慣和學習方法上加以改變,教學應以培養(yǎng)分析思維能力、解決實際問題的能力為主要目標。

函數極限是高等數學中最抽象的概念,是高等數學的難點和重點,高等數學中的許多概念和定理都與極限有關。從連續(xù)到導數、從微積分到級數等都是用極限來定義的,極限貫穿了高等數學的始終。因此,全面掌握函數與求極限的方法及技巧是學好高等數學的基本要求。下面兩個定理在求解函數極限時起了極其重要的作用。

定理1[2]:有界函數與無窮小的乘積是無窮小。

定理2[2]:設函數y=f(g(x))由函數u=g(x)與函數y=f(u)復合而成,g(x)的值域包含在f(u)的定義域中。若g(x)=u,且函數y=f(u)在u=u連續(xù),則:f(g(x))=f(u)=f(u)= fg(x)。

我在教學過程中發(fā)現有部分學生對上述定理只是單純地記憶和應用,只是機械性地去計算極限,而不是加以理解性地應用,這與鍛煉數學的思維方法和解題思路相違。因此,為了加深學生對上述兩個定理的理解和應用的熟練程度,教師需要適當地講解一些相關例題,讓他們加深理論基礎、計算方法的能力和技巧。

2.利用定理巧解函數極限

下面我從幾個實例來闡述在教學過程中對這兩個定理的應用。

例1.求,其中α>0。

分析:當x∞時,分子及分母的極限都不存在,故關于商的極限的運算法則不能應用。但把分解為與sinx的乘積,由于為當x∞時的無窮小,而sinx是有界函數,則根據上述定理1就有:=?sinx=0。

例2.求。

分析:把分解為xsin與的乘積。當x0時,函數f(x)=x為無窮小;雖然函數g(x)=sin的極限不存在,但g(x)是有界函數;利用定理1可得xsin=0。再利用第一個重要極限的結論,知=1。于是有:=?xsin=1?0=0。

定理2的結論可以看作求連續(xù)復合函數的極限時,連續(xù)函數符號與極限符號交換次序的理論基礎,即先取極限后求函數值,該方式可簡化求復合函數極限的過程。

例3.求。

分析:利用對數函數的性質,上述函數可等價變形為f(x)=log(1+x)。顯然,它是由函數f(u)=logu與u=(1+x)復合而成。由第二個重要極限結論知:(1+x)=e;又函數f(u)=logu在u=e處連續(xù),于是根據定理3可得:=log(1+x)=log(1+x)=loge=。

例4.求(1+2x)。

分析:利用對數函數的性質,則f(x)=(1+2x)=e。可以分解為f(u)=e與u=6??ln(1+2x)復合,且6??ln(1+2x)?又分解為與ln(1+2x)的乘積。根據極限乘法法則及兩個重要極限的結論,可得:

6??ln(1+2x)=6??ln(1+2x)=6e,

又函數f(u)=e在u=6e處連續(xù),于是根據定理2可得:

(1+2x)=e=e=e=e。

3.結語

本文將教學過程中遇到的困惑提出來,目的是提醒學生不能只重視計算方法,應把計算過程及方法的理論基礎弄清楚,奠定扎實的理論基礎。我們通過對例題的分析和求解方法分析,使學生加深了對道理的理解,加強了定理的應用能力,達到了預期的效果。

參考文獻:

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[3]于堅.高等數學探究性學習模式的研究與實踐[J].教育與職業(yè),2006,(11).