自然科學(xué)的數(shù)學(xué)原理精選(九篇)

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第1篇：自然科學(xué)的數(shù)學(xué)原理范文

關(guān)鍵詞： 近代 物理學(xué) 數(shù)學(xué)化

1、物理學(xué)數(shù)學(xué)化的開始――數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)方法

伽利略被譽(yù)為近代物理學(xué)之父，他把實(shí)驗(yàn)與數(shù)學(xué)相結(jié)合，開創(chuàng)了近代科學(xué)的有效研究方法――數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)方法。伽利略起初的研究可以分為三個(gè)步驟：（1）提取出從現(xiàn)象中獲取的直觀認(rèn)識(shí)的主要部分，用最簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)形式表示出來(lái)，以建立量的概念；（2）由此式用數(shù)學(xué)方法導(dǎo)出另一易于實(shí)驗(yàn)證實(shí)的數(shù)量關(guān)系；（3）通過(guò)實(shí)驗(yàn)證實(shí)這種數(shù)量關(guān)系。[3]勻加速運(yùn)動(dòng)規(guī)律的研究展示了他的跨時(shí)代研究方法。

伽利略從斜面滾球?qū)嶒?yàn)開啟了物理實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象到推理的進(jìn)化，而在落體運(yùn)動(dòng)的研究中，伽利略改變了中世紀(jì)物理學(xué)虛假的世界，改變了物理學(xué)形而上學(xué)和常識(shí)“觀察”相結(jié)合中盤旋的狀態(tài)。確立了正確的“自由落體定律”： 、 。伽利略對(duì)運(yùn)動(dòng)基本概念，包括重心、速度、加速度等都作了詳盡研究并給出了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)表達(dá)式。否定了“亞里士多德的主要錯(cuò)誤是，他的物理學(xué)忽略了，甚至排除了不可動(dòng)搖的數(shù)學(xué)哲學(xué)這個(gè)基礎(chǔ)。[1]”

經(jīng)過(guò)后人的鞏固與整理，形成了目前的實(shí)驗(yàn)――數(shù)學(xué)方法是：在實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，重視把數(shù)學(xué)概念、理論、公式用于對(duì)物體運(yùn)動(dòng)的研究，把物理概念及其相互聯(lián)系用簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)形式表達(dá)出來(lái)，從而使物理概念量化，形成物理量，并用數(shù)學(xué)形式揭示自然界的物理本質(zhì)，把觀察與實(shí)驗(yàn)的結(jié)果上升到理論的高度。

2、物理學(xué)數(shù)學(xué)化的形成――《原理》的出版

盡管伽利略、開普勒運(yùn)用數(shù)學(xué)所作的嘗試是卓越的，但都只是用數(shù)學(xué)的方法解決局部問(wèn)題，試探性地對(duì)客觀自然現(xiàn)象和經(jīng)驗(yàn)事實(shí)進(jìn)行部分的定量研究。牛頓在自然科學(xué)史上真正實(shí)現(xiàn)了物理科學(xué)的系統(tǒng)的數(shù)學(xué)化。牛頓在物理學(xué)上革命性舉動(dòng)正像他的巨著《自然哲學(xué)之數(shù)學(xué)原理》的名稱所要表明的那樣，建立起“自然哲學(xué)”的數(shù)學(xué)原理。在他看來(lái)，數(shù)學(xué)方法對(duì)于研究自然是有效的，是符合物理學(xué)的研究本性的也是符合物理學(xué)研究的抽象化方向的，微積分與萬(wàn)有引力定律對(duì)物理學(xué)以及對(duì)航天事業(yè)的影響，足以證明物理學(xué)的數(shù)學(xué)化是一次正確的革命。

牛頓在研究經(jīng)典力學(xué)規(guī)律和萬(wàn)有引力定律時(shí)，碰到了一些無(wú)法解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題，而這些數(shù)學(xué)問(wèn)題用歐幾里德幾何學(xué)和16世紀(jì)的代數(shù)學(xué)是無(wú)法解決的，因此牛頓著手研究新的以求曲率、面積、曲線的長(zhǎng)度、重心、最大最小值等問(wèn)題的方法―――流數(shù)法（后演變?yōu)槲⒎e分）。牛頓的微積分是從力學(xué)脫胎而來(lái)的物理模型的痕跡，以機(jī)械運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型出現(xiàn)，其中的基本概念，如初生量、消失量、瞬、最初比和最后比等概念都來(lái)自機(jī)械運(yùn)動(dòng)，是機(jī)械運(yùn)動(dòng)瞬間狀態(tài)的數(shù)學(xué)抽象。從某種角度上推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。

3、物理學(xué)數(shù)學(xué)化的成熟――麥克斯韋方程

電磁學(xué)從遠(yuǎn)古到18世紀(jì)中晚期是電磁現(xiàn)象的早期研究階段，以對(duì)電磁現(xiàn)象的觀察實(shí)驗(yàn)以及定性研究為主，直到18世紀(jì)晚期到19世紀(jì)早期，庫(kù)侖定律、電流磁效、大陸派超距論電動(dòng)力學(xué)體系才相繼出現(xiàn)， 1861～1865年，麥克斯韋提出電位移和位移電流的概念，把電磁場(chǎng)明確地定義為是一種物質(zhì)，為了定量地刻畫電磁場(chǎng)的轉(zhuǎn)化和電磁波的傳播規(guī)律，麥克斯韋運(yùn)用應(yīng)用應(yīng)力、變形、壓力、渦動(dòng)及其他概念、矢量分析和微分方法，并把它的全部表現(xiàn)形態(tài)用個(gè)帶可變數(shù)的方程式表述出來(lái)，引進(jìn)了兩組偏微分方程。后來(lái)，科學(xué)家用這些方程式建立了精密的麥克斯韋方程組。后來(lái)赫茲于1886～1888年通過(guò)實(shí)驗(yàn)證實(shí)了麥克斯韋的預(yù)言，也因此徹底否定了電超距論思想，導(dǎo)致了無(wú)線電的誕生，開辟了電磁波通訊的新紀(jì)元。并從理論上預(yù)言了電磁波的存在，建立了麥克斯韋方程組。

或

通過(guò)麥克斯韋方程組，可導(dǎo)出一系列不同波長(zhǎng)和頻率的電磁波，并由于波長(zhǎng)的量變引起了波特性和功能的質(zhì)變。諸如在這之前就已發(fā)現(xiàn)的紅外線、可見光、紫外線，在這以后陸續(xù)被發(fā)現(xiàn)的x射線、微波和超短波、中波、長(zhǎng)波等無(wú)線電波，都屬于電磁波，都可以從這組奇妙的方程中找到各自的位置。

5、物理學(xué)數(shù)學(xué)化的深入――熱力學(xué)和統(tǒng)計(jì)物理的數(shù)學(xué)化

麥克斯韋精湛的數(shù)學(xué)功底不僅促成了電磁學(xué)的統(tǒng)一與發(fā)展，它還極大的推動(dòng)了統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的發(fā)展。麥克斯韋在對(duì)土星環(huán)的研究過(guò)程中，遇到了許多概率理論的問(wèn)題，同時(shí)又受到克勞修斯《關(guān)于氣體分子的平均自由路程》（該文將概率思想引入物理學(xué)及其計(jì)算之中，文章用統(tǒng)計(jì)方法推求分子運(yùn)動(dòng)平均自由程時(shí)采用了速率相等的假定）的影響，從而開始了對(duì)氣體動(dòng)力學(xué)的研究。 他于1859年9月21日做了題為《關(guān)于氣體動(dòng)力理論的說(shuō)明》的報(bào)告，考慮到各個(gè)分子實(shí)際運(yùn)動(dòng)速度不同，利用概率論和統(tǒng)計(jì)方法確立了氣體分子按速度分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律（麥克斯韋速度分布律），提了著名的分子運(yùn)動(dòng)速度分布律，糾正了前輩學(xué)者伯努利和克勞修斯在這方面的錯(cuò)誤。這個(gè)報(bào)告初次把統(tǒng)計(jì)學(xué)用于描述物理現(xiàn)象，標(biāo)志著新的科學(xué)發(fā)展時(shí)期的來(lái)臨。1860年，麥克斯韋用分子速度分布律和平均自由程的理論推出一個(gè)粘滯系數(shù)公式，得到粘滯系數(shù)與氣體分子密度無(wú)關(guān)的結(jié)論，并在1866年親自做實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了這個(gè)結(jié)果。1872年，玻爾茲曼引進(jìn)分子分布函數(shù)定義的H函數(shù)和熵發(fā)表了研究氣體從不平衡過(guò)度到平衡的過(guò)程的玻爾茲曼方程；1873年，吉布斯用系統(tǒng)參數(shù)的變化表示系統(tǒng)內(nèi)能的變化，得到熱力學(xué)基本方程， ，后又將熱學(xué)的唯象論和分子運(yùn)動(dòng)論綜合到一個(gè)整體，系統(tǒng)研究系綜，發(fā)表《統(tǒng)計(jì)力學(xué)基本原理》完成統(tǒng)計(jì)物理的偉大統(tǒng)一。

參考文獻(xiàn)

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第2篇：自然科學(xué)的數(shù)學(xué)原理范文

1.在數(shù)學(xué)學(xué)科本身的應(yīng)用。由于數(shù)學(xué)學(xué)科本身具有邏輯嚴(yán)密的特點(diǎn),前面知識(shí)的學(xué)習(xí)為學(xué)習(xí)后面的知識(shí)做準(zhǔn)備。換句話說(shuō),前面的知識(shí)要應(yīng)用到后面知識(shí)的學(xué)習(xí)中。

2.在其他相關(guān)學(xué)科的應(yīng)用,特別是物理及工程技術(shù)中的應(yīng)用。

3.應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)情境中去。由于高中學(xué)生學(xué)習(xí)的知識(shí)畢竟還是有限的,他們用數(shù)學(xué)知識(shí)解決的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題,與應(yīng)用數(shù)學(xué)家所面臨的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題相比,充其量是個(gè)“準(zhǔn)數(shù)學(xué)問(wèn)題”,至少是“半數(shù)學(xué)化”的問(wèn)題,是一個(gè)經(jīng)過(guò)人為加工的“數(shù)學(xué)半成品”。

4.發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題這四者之間,能夠發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題,這是要求最高的。能夠解決已經(jīng)“數(shù)學(xué)化”了的問(wèn)題,對(duì)學(xué)生來(lái)講,是個(gè)技能化的過(guò)程。而能夠發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題則是一個(gè)能力問(wèn)題。

二、應(yīng)用與基礎(chǔ)知識(shí)的關(guān)系

對(duì)高中學(xué)生來(lái)講,掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)應(yīng)該是教學(xué)的首要目標(biāo),應(yīng)用是以掌握數(shù)學(xué)知識(shí)為前提的。應(yīng)用不僅僅是目的,更重要的是過(guò)程,即我們不僅要使學(xué)生樹立起數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí),認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用性特點(diǎn)和應(yīng)用價(jià)值,具備應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的規(guī)律性認(rèn)識(shí)和操作性能力,而且還要切切實(shí)實(shí)讓學(xué)生在應(yīng)用數(shù)學(xué)中掌握基礎(chǔ)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法,學(xué)會(huì)使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言,并受到數(shù)學(xué)文化的熏陶。很難想象,沒(méi)有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí),談何應(yīng)用?

三、應(yīng)用與計(jì)算機(jī)(器)

計(jì)算機(jī)(器)的普及,為數(shù)學(xué)的應(yīng)用提供了先進(jìn)的計(jì)算工具,更便于處理實(shí)際數(shù)據(jù),使應(yīng)用問(wèn)題更加真實(shí),切合實(shí)際;良好的演示平臺(tái),使數(shù)學(xué)應(yīng)用有了廣闊的空間,計(jì)算機(jī)能夠把靜態(tài)的變成動(dòng)態(tài)的,把抽象的東西具體化、直觀化,使人們的思維能夠得到一定程度的延伸。

四、從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)活動(dòng)看“應(yīng)用”

第3篇：自然科學(xué)的數(shù)學(xué)原理范文

數(shù)學(xué)是一種語(yǔ)言，“以前，人們認(rèn)為數(shù)學(xué)只是自然科學(xué)的語(yǔ)言和工具，現(xiàn)在數(shù)學(xué)已成了所有科學(xué)——自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、管理科學(xué)等的工具和語(yǔ)言”。不過(guò)，這種語(yǔ)言與日常語(yǔ)言不同，“日常語(yǔ)言是習(xí)俗的產(chǎn)物，也是社會(huì)和政治運(yùn)動(dòng)的產(chǎn)物，而數(shù)學(xué)語(yǔ)言則是慎重地、有意地而且經(jīng)常是精心設(shè)計(jì)的”。因此，美國(guó)著名心理學(xué)家布龍菲爾德說(shuō)：“數(shù)學(xué)不過(guò)是語(yǔ)言所能達(dá)到的最高境界”。更有前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家斯托利亞爾言：“數(shù)學(xué)教學(xué)也就是數(shù)學(xué)語(yǔ)言的教學(xué)”。而語(yǔ)言的學(xué)習(xí)是離不開閱讀的，所以，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不能離開閱讀，這便是數(shù)學(xué)閱讀之由來(lái)。

數(shù)學(xué)閱讀過(guò)程同一般閱讀過(guò)程一樣，是一個(gè)完整的心理活動(dòng)過(guò)程，包含語(yǔ)言符號(hào)（文字、數(shù)學(xué)符號(hào)、術(shù)語(yǔ)、公式、圖表等）的感知和認(rèn)讀、新概念的同化和順應(yīng)、閱讀材料的理解和記憶等各種心理活動(dòng)因素。同時(shí)，它也是一個(gè)不斷假設(shè)、證明、想象、推理的積極能動(dòng)的認(rèn)知過(guò)程。但由于數(shù)學(xué)語(yǔ)言的符號(hào)化、邏輯化及嚴(yán)謹(jǐn)性、抽象性等特點(diǎn)，數(shù)學(xué)閱讀又有不同于一般閱讀的特殊性，認(rèn)識(shí)這些特殊性，對(duì)指導(dǎo)數(shù)學(xué)閱讀有重要意義。

首先，由于數(shù)學(xué)語(yǔ)言的高度抽象性，數(shù)學(xué)閱讀需要較強(qiáng)的邏輯思維能力。在閱讀過(guò)程中，讀者必須認(rèn)讀感知閱讀材料中有關(guān)的數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)和符號(hào)，理解每個(gè)術(shù)語(yǔ)和符號(hào)，并能正確依據(jù)數(shù)學(xué)原理分析它們之間的邏輯關(guān)系，最后達(dá)到對(duì)材料的本真理解，形成知識(shí)結(jié)構(gòu)，這中間用到的邏輯推理思維特別多。而一般閱讀“理解和感知好像融合為一體，因?yàn)檫@種情況下的閱讀，主要的是運(yùn)用已有的知識(shí)，把它與新的印象聯(lián)系起來(lái)，從而掌握閱讀的對(duì)象”，較少運(yùn)用邏輯推理思維。

其次，數(shù)學(xué)語(yǔ)言的特點(diǎn)也在于它的精確性，每個(gè)數(shù)學(xué)概念、符號(hào)、術(shù)語(yǔ)都有其精確的含義，沒(méi)有含糊不清或易產(chǎn)生歧義的詞匯，數(shù)學(xué)中的結(jié)論錯(cuò)對(duì)分明，不存在似是而非模棱兩可的斷言，當(dāng)一個(gè)學(xué)生試圖閱讀、理解一段數(shù)學(xué)材料或一個(gè)概念、定理或其證明時(shí)，他必須了解其中出現(xiàn)的每個(gè)數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)和每個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)的精確含義，不能忽視或略去任何一個(gè)不理解的詞匯。因此，瀏覽、快速閱讀等閱讀方式不太適合數(shù)學(xué)閱讀學(xué)習(xí)。

第三，數(shù)學(xué)閱讀要求認(rèn)真細(xì)致。閱讀一本小說(shuō)或故事書時(shí)，可以不注意細(xì)節(jié)，進(jìn)行跳閱或?yàn)g覽無(wú)趣味的段落，但數(shù)學(xué)閱讀由于數(shù)學(xué)教科書編寫的邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性及數(shù)學(xué)“言必有據(jù)”的特點(diǎn)，要求對(duì)每個(gè)句子、每個(gè)名詞術(shù)語(yǔ)、每個(gè)圖表都應(yīng)細(xì)致地閱讀分析，領(lǐng)會(huì)其內(nèi)容、含義。對(duì)新出現(xiàn)的數(shù)學(xué)定義、定理一般不能一遍過(guò)，要反復(fù)仔細(xì)閱讀，并進(jìn)行認(rèn)真分析直至弄懂含義。數(shù)學(xué)閱讀常出現(xiàn)這種情況，認(rèn)識(shí)一段數(shù)學(xué)材料中每一個(gè)字、詞或句子，卻不能理解其中的推理和數(shù)學(xué)含義，更難體會(huì)到其中的數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)語(yǔ)言形式表述與數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的這一矛盾決定了數(shù)學(xué)閱讀必須勤思多想。

第四，數(shù)學(xué)閱讀過(guò)程往往是讀寫結(jié)合過(guò)程。一方面，數(shù)學(xué)閱讀要求記憶重要概念、原理、公式，而書寫可以加快、加強(qiáng)記憶，數(shù)學(xué)閱讀時(shí)，對(duì)重要的內(nèi)容常通過(guò)書寫或作筆記來(lái)加強(qiáng)記憶；另一方面，教材編寫為了簡(jiǎn)約，數(shù)學(xué)推理的理由常省略，運(yùn)算證明過(guò)程也常簡(jiǎn)略，閱讀時(shí)，如果從上一步到下一步跨度較大，常需紙筆演算推理來(lái)“架橋鋪路”，以便順利閱讀；還有，數(shù)學(xué)閱讀時(shí)常要求從課文中概括歸納出一些東西，如解題格式、證明思想、知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖，或舉一些反例、變式來(lái)加深理解，這些往往要求讀者以注腳的形式寫在頁(yè)邊上，以便以后復(fù)習(xí)鞏固。

第4篇：自然科學(xué)的數(shù)學(xué)原理范文

【關(guān)鍵詞】環(huán)境研究法；實(shí)用性；實(shí)踐環(huán)節(jié)

環(huán)境研究法是農(nóng)業(yè)高校環(huán)境類專業(yè)的一門重要必修課程，在專業(yè)人才培養(yǎng)方面具有重要地位[1]。該課程以試驗(yàn)設(shè)計(jì)和數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析為基礎(chǔ)，結(jié)合農(nóng)業(yè)領(lǐng)域環(huán)境科學(xué)或環(huán)境工程方面的研究，從科研課題的選題、數(shù)據(jù)資料的收集、數(shù)據(jù)資料的整理及數(shù)據(jù)資料的統(tǒng)計(jì)分析等方面系統(tǒng)介紹環(huán)境科學(xué)領(lǐng)域開展科學(xué)研究的基本方法，這對(duì)于培養(yǎng)農(nóng)業(yè)高校環(huán)境類專業(yè)人才的基本科研素質(zhì)和能力具有重要意義。然而，該課程包含很多統(tǒng)計(jì)學(xué)的數(shù)學(xué)原理，教師授課普遍感覺難度較大，很多學(xué)生也覺得枯燥難學(xué)。為了激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高教學(xué)效果，我們認(rèn)為可以從一下幾個(gè)方面進(jìn)行教學(xué)改革：

1 闡明學(xué)好環(huán)境研究法課程的重要性

講環(huán)境研究法緒論時(shí)，對(duì)學(xué)生強(qiáng)調(diào)學(xué)好這門課程的重要意義對(duì)于提高學(xué)生對(duì)課程的重視程度，激發(fā)學(xué)生的興趣具有重要意義。要向?qū)W生強(qiáng)調(diào)環(huán)境研究法講述的是環(huán)境科學(xué)或工程領(lǐng)域最常用、最有效的試驗(yàn)設(shè)計(jì)及數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析的基本原理和基本方法，是一門實(shí)用性很強(qiáng)的工具課，是一項(xiàng)必不可少的專業(yè)技能，以引起學(xué)生對(duì)這門課的足夠重視。此外，結(jié)合學(xué)生學(xué)習(xí)的心理特點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)學(xué)好這門課的現(xiàn)實(shí)意義。學(xué)生畢業(yè)后的去向一般是考研和就業(yè)兩條途徑，對(duì)于準(zhǔn)備畢業(yè)后從事科研工作的學(xué)生，強(qiáng)調(diào)學(xué)好這門課程在科學(xué)研究、發(fā)表科研論文等方面的重要性；而對(duì)于就業(yè)的學(xué)生，學(xué)好這門課對(duì)于他們?cè)诠ぷ髦羞M(jìn)行數(shù)據(jù)分析、工作報(bào)告撰寫等方面也是十分必要的。在緒論的講述過(guò)程中，結(jié)合實(shí)際案例，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)這門課的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，從而調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，讓學(xué)生明白，學(xué)習(xí)這門課是有用的。

2 優(yōu)化課程教學(xué)體系，重點(diǎn)講述課程的實(shí)用性內(nèi)容

試驗(yàn)設(shè)計(jì)基本原理和方法和統(tǒng)計(jì)分析基本原理是環(huán)境研究法課程的主要組成部分，這些內(nèi)容大部分是比較抽象和枯燥的，如果教師不注意課程內(nèi)容的邏輯性和針對(duì)性，很容易導(dǎo)致學(xué)生興趣下降，達(dá)不到理想的教學(xué)效果[2]。為了避免此情況的發(fā)生，在課堂講授過(guò)程中應(yīng)當(dāng)注意以下幾點(diǎn)：

（1）應(yīng)突出重點(diǎn)和難點(diǎn)。在講試驗(yàn)設(shè)計(jì)基本原理部分時(shí)，應(yīng)該強(qiáng)調(diào)試驗(yàn)設(shè)計(jì)過(guò)程中出現(xiàn)的基本概念，如處理、水平、試驗(yàn)因素等，應(yīng)結(jié)合實(shí)際案例，進(jìn)一步讓學(xué)生理解這些概念的含義，最終的目標(biāo)是讓學(xué)生能夠正確使用和表達(dá)這些概念。生物試驗(yàn)設(shè)計(jì)部分內(nèi)容繁多而零碎，這更要求教師要明確劃分出重點(diǎn)難點(diǎn)，讓學(xué)生做到有的放矢，而不是胡子眉毛一把抓。講統(tǒng)計(jì)分析部分時(shí)，教材或講義中往往包含過(guò)多內(nèi)容，這其中的很多內(nèi)容平時(shí)是不常用到的，如統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)中的百分?jǐn)?shù)的假設(shè)檢驗(yàn)、卡方檢驗(yàn)、適應(yīng)性檢驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)分析部分的拉丁方試驗(yàn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)等，因此，對(duì)于這些內(nèi)容，應(yīng)該做適當(dāng)刪減，從而能夠使學(xué)生能夠更加容易的理解常用試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)的基本原理。過(guò)分強(qiáng)調(diào)這些內(nèi)容，一方面會(huì)使學(xué)生云里霧里，將各種數(shù)學(xué)原理交纏在一起，理不清思路，反而起到不好的教學(xué)效果；另一方面，即使學(xué)生能夠在課堂上把這些數(shù)學(xué)原理都能夠搞清楚，但如果以后很少用到這些數(shù)學(xué)模型，便會(huì)很快忘掉，教學(xué)效果也及其有限。而讓學(xué)生牢牢記住幾個(gè)常用的數(shù)學(xué)模型，就能夠在以后的科研實(shí)踐中拿來(lái)即用，達(dá)到事半功倍的效果。

（2）公式推導(dǎo)過(guò)程少講，多講統(tǒng)計(jì)分析的實(shí)際應(yīng)用方法。讓學(xué)生理解環(huán)境研究法中的數(shù)據(jù)原理是基礎(chǔ)，而學(xué)習(xí)這門課的最終目的是實(shí)際應(yīng)用。這門課中包含大量的復(fù)雜數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)，例如三因素方法分析各變異因素的劃分、平方和的計(jì)算、方差的計(jì)算、自由度的計(jì)算、以及多重比較過(guò)程的復(fù)雜計(jì)算，裂區(qū)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析中的復(fù)雜計(jì)算等等，有些老師過(guò)分注重這些復(fù)雜公式的推導(dǎo)計(jì)算，不但學(xué)生覺得枯燥、難以理解，而且教師也常常一時(shí)思路混亂，出現(xiàn)講述錯(cuò)誤，教學(xué)效果可想而知。然而，及時(shí)把這些公式的推導(dǎo)過(guò)程講好，意義又在哪里？目前各種試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)都是通過(guò)統(tǒng)計(jì)分析軟件進(jìn)行，巨大的計(jì)算量交于電腦解決，人們只需要會(huì)分析統(tǒng)計(jì)結(jié)果就可以了，沒(méi)有哪個(gè)人會(huì)把那些復(fù)雜的公式記住。因此，這些公式推導(dǎo)過(guò)程讓學(xué)生大體知道來(lái)龍去脈即可，要把重點(diǎn)放在最后統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果的解讀上，讓學(xué)生知道如何去看統(tǒng)計(jì)分析的結(jié)果，寫論文的時(shí)候如何表述這些結(jié)果，這才是最貼合實(shí)際的內(nèi)容。

（3）布置適當(dāng)?shù)恼n程作業(yè)，及時(shí)批改作業(yè)。要達(dá)到理想的教學(xué)效果，對(duì)于環(huán)境研究法課程來(lái)說(shuō)，只進(jìn)行課堂講授是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還必須讓學(xué)生通過(guò)作業(yè)來(lái)加深對(duì)試驗(yàn)設(shè)計(jì)和統(tǒng)計(jì)分析原理的理解和認(rèn)識(shí)，因此，適量布置課堂作業(yè)是一個(gè)必不可少的環(huán)節(jié)。建議在試驗(yàn)設(shè)計(jì)、以及每一種統(tǒng)計(jì)分析的數(shù)學(xué)模型部分均布置課堂作業(yè)，讓學(xué)生親自動(dòng)手去寫試驗(yàn)設(shè)計(jì)的方案、應(yīng)該基本的統(tǒng)計(jì)分析公式去計(jì)算、最后把數(shù)據(jù)分析結(jié)果用文字表達(dá)出來(lái)。教師應(yīng)及時(shí)批改學(xué)生作業(yè)，并將學(xué)生在作業(yè)中出現(xiàn)的典型錯(cuò)誤在課堂上重點(diǎn)進(jìn)行講述，加深學(xué)生的理解。

3 讓學(xué)生積極參與課堂，重視實(shí)習(xí)環(huán)節(jié)

要讓學(xué)生積極參與課堂，充分理解課堂內(nèi)容是前提條件，因此，學(xué)生參與課堂環(huán)境應(yīng)該在課程主要內(nèi)容講完后進(jìn)行。可以讓學(xué)生自己或者由教師選擇一個(gè)微型試驗(yàn)，要求學(xué)生從選題依據(jù)、試驗(yàn)設(shè)計(jì)、試驗(yàn)實(shí)施、數(shù)據(jù)分析到最終結(jié)論，完成一個(gè)完整的試驗(yàn)過(guò)程。小組合作是讓學(xué)生參與課堂的重要形式。合作學(xué)習(xí)被人們譽(yù)為“最重要和最成功的教學(xué)改革”，發(fā)達(dá)國(guó)家普遍采用這樣的教學(xué)方式。在引導(dǎo)學(xué)生參與學(xué)習(xí)的過(guò)程找那個(gè)，要讓每個(gè)學(xué)生真正參與試驗(yàn)，在小組合作過(guò)程中，學(xué)生可以充分體驗(yàn)學(xué)習(xí)過(guò)程，使參與面達(dá)到最大化，能夠進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解。學(xué)生完成試驗(yàn)選題和試驗(yàn)設(shè)計(jì)后，讓每個(gè)研究小組派出代表以PPT的形式宣講自己的試驗(yàn)設(shè)計(jì)，讓其他同學(xué)提建議，一方面鍛煉學(xué)生的科學(xué)表述能力，另一方面可根據(jù)大家的建議進(jìn)一步完善試驗(yàn)方案。環(huán)境研究法課堂授課結(jié)束后，就進(jìn)入實(shí)習(xí)環(huán)節(jié)，實(shí)習(xí)就是讓學(xué)生將確定好的研究方案付諸實(shí)施，讓學(xué)生親身感受試驗(yàn)完整過(guò)程，同時(shí)將課堂上所學(xué)的知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際中去，最后形成一份完整的實(shí)習(xí)報(bào)告，教師可對(duì)實(shí)習(xí)報(bào)告進(jìn)行檢查，對(duì)出現(xiàn)的問(wèn)題進(jìn)行及時(shí)指導(dǎo)。通過(guò)這些環(huán)節(jié)，學(xué)生及掌握了理論知識(shí)，又能做到將其在實(shí)踐中合理運(yùn)用，必然會(huì)取得良好的教學(xué)效果。

【參考文獻(xiàn)】

第5篇：自然科學(xué)的數(shù)學(xué)原理范文

在現(xiàn)代教育中，教師需要落實(shí)新課標(biāo)教學(xué)要求，創(chuàng)造性地運(yùn)用教材，注重現(xiàn)實(shí)生活與教學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系。同時(shí)，尊重學(xué)生，允許學(xué)生不同看法與獨(dú)特思維，以培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑意識(shí)與主體意識(shí)。另外，為學(xué)生提供自主探究與合作交流機(jī)會(huì)，以培養(yǎng)學(xué)生自學(xué)意識(shí)與探究精神。對(duì)此，筆者以初中數(shù)學(xué)教學(xué)為例，具體談?wù)勑抡n標(biāo)下數(shù)學(xué)教學(xué)的思考與體會(huì)。

1.要以新課標(biāo)為指導(dǎo)進(jìn)行數(shù)學(xué)課堂教學(xué)

傳統(tǒng)的課程只有教師與教材，新課標(biāo)的數(shù)學(xué)課程是教師、學(xué)生教、學(xué)材料教學(xué)情境與教學(xué)環(huán)境構(gòu)成的，就是說(shuō)，課程是變化的，是教師和學(xué)生一起探究新知識(shí)的過(guò)程。教師和學(xué)生是課程的一部分，也是課程的建設(shè)者，教學(xué)過(guò)程教師與學(xué)生共同創(chuàng)新課程和開發(fā)課程的過(guò)程。教師在課堂教學(xué)應(yīng)該以新課標(biāo)為標(biāo)準(zhǔn)。

教師在課堂教學(xué)中讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)具有自然科學(xué)性，自然界的一切事物和一切現(xiàn)象都存在一定數(shù)量和空間關(guān)系，它是自然科學(xué)的基礎(chǔ)，也是自然科學(xué)的工具。任何一門自然科學(xué)都離不開數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)語(yǔ)言及思維方式。它是其它自然科學(xué)的基礎(chǔ)，生活離不開數(shù)學(xué)。例如，電視機(jī)屏幕的長(zhǎng)與寬，盡量滿足黃金分割比例；又如，商品買賣，儲(chǔ)存貸款等都用到數(shù)學(xué)。因此，在課堂教學(xué)中應(yīng)注意聯(lián)系生活。

2.結(jié)合生活實(shí)際，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要求教師以學(xué)生所熟知的生活情境為出發(fā)點(diǎn)，給學(xué)生創(chuàng)造更多操作與觀察的機(jī)會(huì)，使其感受到數(shù)學(xué)源于生活，生活處處有數(shù)學(xué)，體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用性，從而更有數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情。因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)善于抓住生活這個(gè)大課堂，將數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活緊密結(jié)合起來(lái)，從數(shù)學(xué)教材中發(fā)掘生活中的數(shù)學(xué)知識(shí)，從生活現(xiàn)象中發(fā)掘其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理、背景資料，實(shí)現(xiàn)生活問(wèn)題數(shù)學(xué)化，數(shù)學(xué)內(nèi)容生活化，從而激活學(xué)生已有知識(shí)，喚起學(xué)生原有生活經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生形成善于觀察，關(guān)注生活，質(zhì)疑探究的良好習(xí)慣。

如教學(xué)"余角、補(bǔ)角、對(duì)頂角"時(shí)，教師可創(chuàng)設(shè)生活化的教學(xué)情境，生成新知：（課件呈現(xiàn)下圖）在日常生活中，若要測(cè)兩堵墻所成的角∠AOB的度數(shù)，然而人不可以進(jìn)入圍墻，請(qǐng)想想有哪些方法可以測(cè)量呢？說(shuō)明幾何原理。這樣，通過(guò)生活化的情境引入，既可調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情，更可喚起學(xué)生探知欲望，使其基于已有知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)生成新知，形象感知對(duì)頂角的位置特點(diǎn)，并體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)的重要性，明白數(shù)學(xué)源自生活，還服務(wù)于生活。如學(xué)習(xí)"軸對(duì)稱"知識(shí)后，設(shè)計(jì)實(shí)踐性作業(yè)：請(qǐng)結(jié)合教材內(nèi)容以及剪紙圖案，自己動(dòng)手設(shè)計(jì)與制作一款剪紙，要蘊(yùn)含一定的含義，可在家長(zhǎng)協(xié)作下完成，并用簡(jiǎn)潔地話說(shuō)說(shuō)該剪紙的意義。

3.課前加強(qiáng)預(yù)

課前通過(guò)預(yù)習(xí)，才能帶著問(wèn)題去聽講，提高聽課效率。由于初一學(xué)生處于半成熟半幼稚狀態(tài)，進(jìn)入中學(xué)后，需逐步發(fā)展抽象思維能力，但他們?cè)谛W(xué)聽?wèi)T了詳盡、細(xì)致、形象的講解，剛一進(jìn)入中學(xué)就遇到"急轉(zhuǎn)彎"往往很不適應(yīng)，他們雖然有求知欲和思考能力，但自學(xué)能力是較差的。初一教材涉及數(shù)、式、方程，這些內(nèi)容與小學(xué)數(shù)學(xué)中的算術(shù)數(shù)、簡(jiǎn)易方程、算術(shù)應(yīng)用題等知識(shí)有關(guān)，但初一數(shù)學(xué)內(nèi)容比小學(xué)內(nèi)容更為豐富，抽象，復(fù)雜，在教學(xué)方法上也不盡相同；而小學(xué)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣和學(xué)習(xí)方法與中學(xué)生也不盡一致，他們往往認(rèn)為看書就是預(yù)習(xí)。因此，找不出要點(diǎn)，也不知自己有無(wú)問(wèn)題，上課時(shí)只得把老師講的內(nèi)容"胡子眉毛一起抓"。顯然，這樣做"疲勞有余，效果不佳"。為此，在上某一新課前，應(yīng)給學(xué)生介紹課型、特點(diǎn)及預(yù)習(xí)方法。如對(duì)概念課，一般是針對(duì)教材的重點(diǎn)、難點(diǎn)為學(xué)生編排相應(yīng)預(yù)習(xí)題，讓學(xué)生看書思考去找答案，達(dá)到預(yù)習(xí)的目的。

4.認(rèn)真聽課，注重聽課方法

初一學(xué)生往往對(duì)課程增多、課堂學(xué)習(xí)容量加大不適應(yīng)，顧此失彼、精力分散，使聽課效率下降，因此，學(xué)生只有掌握好正確的聽課方法，才能使課堂上的45分鐘發(fā)揮最大的效益。我結(jié)合數(shù)學(xué)課的特點(diǎn)，要求學(xué)生在課堂上必須開動(dòng)腦筋，積極思維；要求學(xué)生會(huì)圍繞老師講述展開聯(lián)想，理清教材文字?jǐn)⑹鏊悸罚灰朴趶奶厥獾揭话悖瑢W(xué)會(huì)分析、判斷與推理。遇到問(wèn)題后，要多想幾個(gè)"為什么"，思考一下"怎么辦"。只有會(huì)想，才能會(huì)學(xué)，也才能學(xué)會(huì)。要善于觀察，勤看。既要觀察老師表情和手勢(shì)，因?yàn)閿?shù)學(xué)上有許多抽象的概念，通過(guò)教師的眼神、手勢(shì)往往會(huì)表達(dá)的更生動(dòng)、更形象，利于理解。又要仔細(xì)觀察知識(shí)語(yǔ)言的表現(xiàn)，多方面增加感性知識(shí)。課堂上要求學(xué)生學(xué)會(huì)聽，要聽出教師講述的重點(diǎn)難點(diǎn)，聽清楚知識(shí)的來(lái)龍去脈，弄清問(wèn)題的實(shí)質(zhì)所在；針對(duì)舊知識(shí)要學(xué)生耐心聽，新知識(shí)要仔細(xì)聽；跨越聽課的學(xué)習(xí)障礙，不受干擾；聽完一節(jié)課后，概念的實(shí)質(zhì)要明確，主次內(nèi)容要分明。課堂上學(xué)生嚴(yán)格按要求進(jìn)行操作，掌握技能，學(xué)會(huì)做筆記，根據(jù)教師講課特點(diǎn)和板書習(xí)慣，抓住中心實(shí)質(zhì)，在理解基礎(chǔ)上扼要記下重點(diǎn)、難點(diǎn)；思路有時(shí)也可以記下。教師形象比喻，深入淺出的分析等，尤其是技能的形成必須親手操作才能逐漸形成。

5.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中讓學(xué)生成為課堂的主人

教育家陶行知先生提倡"行是知之始，知是行之成。"人的能力并不是靠"聽"會(huì)的，而是靠"做"會(huì)的，只有動(dòng)手操作和積極思考才能出真知。

因此，我們不能讓學(xué)生在課堂上做"聽客"和"看客"，要讓學(xué)生做課堂的主人，動(dòng)口、動(dòng)手、又動(dòng)腦，親身參與課堂和實(shí)踐，包括知識(shí)的獲取、新舊知識(shí)的聯(lián)系，知識(shí)的鞏固和應(yīng)用的全過(guò)程。要強(qiáng)調(diào)凡能由學(xué)生提出的問(wèn)題，不要由教師提出；凡能由學(xué)生解的例題，不要由教師解答；凡能由學(xué)生表述的，不要由教學(xué)寫出。

6.幫助學(xué)生建立一系列的"數(shù)學(xué)思維模型"

現(xiàn)代數(shù)學(xué)是構(gòu)造數(shù)學(xué)。學(xué)生頭腦中沒(méi)有一系列的的數(shù)學(xué)模型就難以掌握好數(shù)學(xué)知識(shí)。同理，學(xué)生頭腦中沒(méi)有一系列的數(shù)學(xué)思維模型，也難以有章可循，做到學(xué)有一定之規(guī)，思有一定之法。關(guān)于解應(yīng)用題，代數(shù)比算術(shù)高明，它提供了用列解方程的方法，不僅解法更簡(jiǎn)捷，而縣城方程思想遍及數(shù)學(xué)各領(lǐng)域。在數(shù)學(xué)中，很多數(shù)學(xué)思維模型經(jīng)常起作用。如抓住"歸納DD猜想DD數(shù)學(xué)歸納法"證明這一模式，很多規(guī)律得以發(fā)現(xiàn)并論證。抓住思維活動(dòng)五個(gè)階段（直觀思考DD聯(lián)想思考DD興趣思考DD創(chuàng)造思考），針對(duì)學(xué)生特點(diǎn)，在學(xué)生興趣思考時(shí)適時(shí)點(diǎn)撥，往往能一石激起千層浪，使學(xué)生獲得終生難忘的真才實(shí)學(xué)，潛能必將得以充分發(fā)揮。

7.教會(huì)學(xué)生進(jìn)行辯證思維

第6篇：自然科學(xué)的數(shù)學(xué)原理范文

一、利用學(xué)生的前概念引發(fā)認(rèn)知沖突

前概念是指?jìng)€(gè)體在沒(méi)有接受正式的科學(xué)概念教育之前，對(duì)現(xiàn)實(shí)生活現(xiàn)象所形成的經(jīng)驗(yàn)性概念。學(xué)生由于種種原因，看不到事物的本質(zhì)特征，往往會(huì)形成一些錯(cuò)誤的日常概念。學(xué)生在學(xué)習(xí)九年級(jí)電壓表和電流表的使用中，把電壓表看作開路，電流表看作導(dǎo)線。而在伏安法測(cè)電阻實(shí)驗(yàn)中，對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行誤差分析時(shí)卻又不能這樣做了，它們分別起到分壓和分流的作用。于是，產(chǎn)生了新知識(shí)和舊知識(shí)的矛盾，也就爆發(fā)了認(rèn)知心理上的沖突，從而激發(fā)起學(xué)生進(jìn)一步探究的渴望。

學(xué)生在學(xué)習(xí)物理之前，已經(jīng)積累了大量的生活經(jīng)驗(yàn)，有的經(jīng)驗(yàn)反映了事物的本質(zhì)，是正確的；而有的經(jīng)驗(yàn)只是事物的表面現(xiàn)象，是片面的，甚至是錯(cuò)誤的。可見，教學(xué)中教師要充分了解學(xué)生錯(cuò)誤的前概念，善于挖掘?qū)W生頭腦中隱藏的錯(cuò)誤經(jīng)驗(yàn)，引發(fā)思維沖突。

二、利用實(shí)驗(yàn)引發(fā)認(rèn)知沖突

我國(guó)學(xué)者鐘啟泉教授指出“實(shí)驗(yàn)是在學(xué)習(xí)者的面前引起日常生活中不可能經(jīng)驗(yàn)到的現(xiàn)象。違背學(xué)習(xí)者常識(shí)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，將造成學(xué)習(xí)者意識(shí)中的認(rèn)知失衡狀態(tài)，擺脫這種認(rèn)知矛盾狀態(tài)求得解放的需求，就成了學(xué)習(xí)的動(dòng)力”。由此可見，教師可以通過(guò)創(chuàng)設(shè)探究性實(shí)驗(yàn)情境，預(yù)先讓學(xué)生嘗試做出猜想，然后在學(xué)生面前呈現(xiàn)日常生活中不可檢驗(yàn)到的或意想不到的新現(xiàn)象，促使學(xué)生用原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)去同化，解釋這些現(xiàn)象，往往感到困惑、迷惘，進(jìn)而引發(fā)認(rèn)知沖突，使學(xué)生產(chǎn)生強(qiáng)烈的探究欲望。

對(duì)于“電流”的概念，由于受到“流”的影響，學(xué)生會(huì)認(rèn)為燈泡等用電器是讓電流“流進(jìn)”并將電流消耗的終端設(shè)備，他們會(huì)認(rèn)為電流在電源正極時(shí)較大，通過(guò)用電器后逐漸減小，回到電源負(fù)極時(shí)最小。這時(shí)教師只需引導(dǎo)學(xué)生用多個(gè)一樣電功率的小燈泡串聯(lián)起來(lái)接入電源，讓學(xué)生們看燈泡的亮度是否會(huì)離電源正極越遠(yuǎn)而越暗，通過(guò)明顯的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象來(lái)引發(fā)他們的認(rèn)知沖突，這樣他們就明白了電流只是“流過(guò)”用電器，這不僅理解了電流的概念，也為理解與其他形式的能的轉(zhuǎn)化提供了感性認(rèn)識(shí)。

三、利用物理原理與物理事實(shí)間的矛盾引發(fā)認(rèn)知沖突

物理原理中的公式、定理、定律往往都有一定的適用條件，學(xué)生往往認(rèn)識(shí)不夠完整與深刻，不了解其內(nèi)涵與外延或沒(méi)有掌握其適用條件，在應(yīng)用過(guò)程中往往會(huì)遇到理論知識(shí)與實(shí)際問(wèn)題不相符的情況。在教學(xué)過(guò)程中恰恰可以利用這一矛盾，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突。

四、利用物理與數(shù)學(xué)之間的矛盾引發(fā)認(rèn)知沖突

近代物理學(xué)的書寫語(yǔ)言是數(shù)學(xué)。牛頓的著作《自然科學(xué)的數(shù)學(xué)原理》（1678年），把數(shù)學(xué)化樹立為近代科學(xué)成功的標(biāo)志，在物理概念中許多的概念都可以用數(shù)學(xué)公式來(lái)表示。但物理學(xué)不同于數(shù)學(xué)，物理學(xué)更重要的是物理事實(shí)，物理本質(zhì)和物理關(guān)系。數(shù)學(xué)方法引起的認(rèn)知沖突，通常教師只需把問(wèn)題提出，以討論的形式開展，其收效會(huì)更大。使學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)知水平在學(xué)生討論及教師對(duì)概念的講解中不斷提高，其錯(cuò)誤的物理概念也會(huì)漸漸變成科學(xué)的物理概念。

例如，在建立“密度”概念后，為深化學(xué)生對(duì)概念的理解，可以出示下面的問(wèn)題：

由ρ=■，關(guān)于同一物質(zhì)的密度，下列說(shuō)法正確的是（ ）

A.物體的質(zhì)量越大，則密度越大。

B.物體的體積越小，則密度越大。

C.在體積相同的情況下，密度與質(zhì)量成正比。

D.密度與質(zhì)量、體積無(wú)關(guān)。

第7篇：自然科學(xué)的數(shù)學(xué)原理范文

理想模型思想是研究物理學(xué)問(wèn)題的最基本思想，是為了突出問(wèn)題的主要性質(zhì)，忽略了次要因素的影響，用一種理想化的客體來(lái)代替客觀事物，從而使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單的方法。質(zhì)點(diǎn)是物理中建立的第一個(gè)理想化模型：當(dāng)物體自身的線度大小遠(yuǎn)小于兩物體之間的距離，而且物體的大小、形狀對(duì)所研究問(wèn)題的影響忽略不計(jì)時(shí)，都可以把它們視為質(zhì)點(diǎn)。能否將物體視為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，要以具體的研究問(wèn)題來(lái)決定，而與物體本身無(wú)關(guān)。原子、分子雖小，一旦涉及到自身的內(nèi)部結(jié)構(gòu)就不可以把它們視為質(zhì)點(diǎn)；地球雖大，如果不涉及自身結(jié)構(gòu)及自轉(zhuǎn)，就可以將它看做質(zhì)點(diǎn)。理想模型的學(xué)習(xí)能夠使學(xué)生認(rèn)識(shí)到建立模型是物理學(xué)也是自然科學(xué)中的一個(gè)基本研究思想，若不這樣做就無(wú)法將復(fù)雜事物簡(jiǎn)單化，問(wèn)題很難得到解決[2]；同時(shí)這種理想化的抽象又不是憑主觀想象的，有一定的限定條件和限定范圍，是以客觀事實(shí)（當(dāng)問(wèn)題本身的次要因素對(duì)所要研究的問(wèn)題影響不大，可以忽略不考慮）為基礎(chǔ)的。通過(guò)在教學(xué)過(guò)程中滲透理想模型思想可以培養(yǎng)學(xué)生的思維概括能力，抓住事物的本質(zhì)因素，掌握建立理想模型的條件和方法，當(dāng)理想模型存在不足時(shí)，知道如何對(duì)其進(jìn)行適當(dāng)修正。同時(shí)，為后續(xù)物理學(xué)中相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)打下良好的思維能力基礎(chǔ)，如剛體模型、黑體模型、點(diǎn)電荷模型、原子模型等的建立與理解。理想模型思想還能夠應(yīng)用到其他學(xué)科及社會(huì)生活中去。例如，管理學(xué)中，對(duì)于一個(gè)具體的研究問(wèn)題，對(duì)各方面的影響因素進(jìn)行分析之后，忽略非本質(zhì)因素的影響，建立一定的理想模型，通過(guò)相關(guān)的軟件計(jì)算得到最終的結(jié)果。因此，不管學(xué)生畢業(yè)之后從事什么工作，物理學(xué)中所體現(xiàn)的理想模型思想對(duì)他們今后的工作都具有一定的指導(dǎo)作用。

2微積分思想和方法

大學(xué)物理與中學(xué)物理的一個(gè)重要區(qū)別是微積分思想在解決物理問(wèn)題中的廣泛應(yīng)用。中學(xué)物理采用的是初等數(shù)學(xué)的方法，而大學(xué)物理涉及到的主要是微積分的思想，這對(duì)于剛步入大學(xué)開始學(xué)習(xí)物理的學(xué)生來(lái)說(shuō)是難以適應(yīng)的。因此，如何使學(xué)生理解并掌握微積分思想，熟練運(yùn)用微積分方法來(lái)分析物理問(wèn)題，就成為大學(xué)物理教學(xué)中必須解決的問(wèn)題[3]。任何一門學(xué)科的學(xué)習(xí)都是由簡(jiǎn)到繁的過(guò)程，復(fù)雜現(xiàn)象和規(guī)律的學(xué)習(xí)都是以簡(jiǎn)單的現(xiàn)象和規(guī)律為基礎(chǔ)的。中學(xué)物理研究簡(jiǎn)單的特殊性問(wèn)題，比如直線運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，恒力做功問(wèn)題以及靜止的點(diǎn)電荷在空間產(chǎn)生的電場(chǎng)問(wèn)題等。而大學(xué)主要研究普遍性的問(wèn)題，例如，如何計(jì)算變力所做的功以及帶電體系周圍任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。對(duì)于難以研究的復(fù)雜物理問(wèn)題，可以把它分割成許多較小單元內(nèi)的相應(yīng)局部問(wèn)題，只要單元取的足夠小，就可以將局部范圍內(nèi)的問(wèn)題近似看為簡(jiǎn)單的、所熟悉的可研究問(wèn)題，例如曲面變?yōu)槠矫妫€變?yōu)橹本€，非線性量變?yōu)榫€性量[4]。這時(shí)再將所有單元內(nèi)的研究結(jié)果累加起來(lái)，就可以得到所要研究問(wèn)題的結(jié)果。這就是微積分的思想和方法。例如，計(jì)算一個(gè)帶電量為q的連續(xù)帶電體周圍任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。采用微積分的思想，可將連續(xù)帶電體分為無(wú)限多個(gè)小部分，由于每個(gè)小部分無(wú)限小，可以把它視為一個(gè)帶電量為dq的點(diǎn)電荷，整個(gè)帶電體可以視為一個(gè)點(diǎn)電荷系。點(diǎn)電荷周圍任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)公式是已知的，整個(gè)帶電體產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度等于所有電荷元產(chǎn)生電場(chǎng)強(qiáng)度的矢量和。由于電荷是連續(xù)分布的，求和變?yōu)榉e分，問(wèn)題得到解決。微積分思想在物理中的應(yīng)用還用很多，貫穿于整個(gè)大學(xué)物理內(nèi)容之中，比如均勻帶電圓盤軸線上的場(chǎng)強(qiáng)分布，任意載流導(dǎo)線周圍的磁場(chǎng)分布等。在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生自己分析，養(yǎng)成一個(gè)良好的思維習(xí)慣，提高教育自身的價(jià)值，為以后進(jìn)行更深層次的工作和學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備，對(duì)學(xué)生今后的發(fā)展具有深遠(yuǎn)的積極意義。

3數(shù)理結(jié)合思想

物理問(wèn)題的具體研究與解決需要借助于數(shù)學(xué)工具，一個(gè)優(yōu)秀的物理工作者首先也應(yīng)該是一個(gè)優(yōu)秀的數(shù)學(xué)工作者。物理學(xué)的發(fā)展過(guò)程是以實(shí)驗(yàn)和現(xiàn)象為基礎(chǔ)，通過(guò)觀察確立直觀物理量并收集需要的信息，運(yùn)用數(shù)學(xué)工具建立這些物理量之間的關(guān)系，最后通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證這一規(guī)律。物理學(xué)理論體系的建立與數(shù)學(xué)知識(shí)是密不可分的：在《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》一書中，記錄了牛頓在力學(xué)、熱學(xué)、天文學(xué)、光學(xué)等方面的成就。牛頓在前人的工作基礎(chǔ)上用數(shù)學(xué)方法以數(shù)學(xué)表達(dá)式的形式清晰的總結(jié)出了牛頓三大定律、萬(wàn)有引力定律，從而建立了經(jīng)典力學(xué)的理論體系。除此之外，牛頓還是微積分的首創(chuàng)者，而微積分對(duì)于后來(lái)自然科學(xué)的發(fā)展具有重要作用。后來(lái)，麥克斯韋將矢量偏微分算符引入數(shù)學(xué)，用一組方程組的形式將電場(chǎng)與磁場(chǎng)的統(tǒng)一性表示出來(lái)，成為物理理論體系的又一重大進(jìn)展。由此可以看出數(shù)學(xué)在物理研究中的重要地位。在物理解題過(guò)程中常用到的數(shù)學(xué)方法有矢量分析法，矢量圖解法，幾何法，面積法等。例如，小球與平面發(fā)生碰撞前后動(dòng)量的改變，既可以應(yīng)用矢量圖解法及三角形法則進(jìn)行分析求解，也可以應(yīng)用數(shù)學(xué)中的矢量分解進(jìn)行求解；對(duì)于一個(gè)任意的熱力學(xué)過(guò)程，該過(guò)程中做功大小等于過(guò)程曲線下所包含的面積大小；畢奧—薩法爾定律的應(yīng)用則要用到矢量的乘法等。現(xiàn)在的理論物理工作者，每天最大的工作量就是公式推導(dǎo)與計(jì)算。如果沒(méi)有扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)作支撐，那么他們的工作就無(wú)法進(jìn)行下去，物理學(xué)就不會(huì)有所進(jìn)展。同樣，如果不是前人將物理規(guī)律與現(xiàn)象用簡(jiǎn)潔的公式進(jìn)行高度概括，那今天的科技發(fā)展與社會(huì)進(jìn)步也不會(huì)達(dá)到這樣一個(gè)水平。但是，學(xué)生往往不能將數(shù)學(xué)知識(shí)與物理問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)，這一方面要求學(xué)生必須學(xué)好數(shù)學(xué)知識(shí)，為其它學(xué)科的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)，另一方面教師要引導(dǎo)學(xué)生將物理規(guī)律的文字表述轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表述，運(yùn)用數(shù)學(xué)工具推理論證。教師要做好榜樣，在教學(xué)過(guò)程中要力求數(shù)學(xué)語(yǔ)言的準(zhǔn)確性及規(guī)范性。

4結(jié)束語(yǔ)

第8篇：自然科學(xué)的數(shù)學(xué)原理范文

關(guān)鍵詞：微分方程；模型；應(yīng)用

對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的變化，人們關(guān)注的往往是變量之間的變化率，或變化速度、加速度以及所處的位置隨時(shí)間的發(fā)展規(guī)律，之中的規(guī)律一般可以寫成一個(gè)（偏）微分方程或方程組。所以實(shí)際問(wèn)題中，有大批的問(wèn)題可以用微分方程來(lái)建立數(shù)學(xué)模型，涉及的領(lǐng)域包括物理學(xué)、化學(xué)、天文學(xué)、生物學(xué)、力學(xué)、政治、經(jīng)濟(jì)、軍事、人口、資源等等。

一、微分方程數(shù)學(xué)原理解析

在初等數(shù)學(xué)中，方程有很多種，比如線性方程、指數(shù)方程、對(duì)數(shù)方程、三角方程等，然而并不能解決所有的實(shí)際問(wèn)題。要研究實(shí)際問(wèn)題就要尋求滿足某些條件的一個(gè)或幾個(gè)未知數(shù)方程。這類問(wèn)題的基本思想和初等數(shù)學(xué)的解方程思想有著許多的相似之處，但是在方程的形式、求解的具體方法、求出解的性質(zhì)等方面依然存在很多不同的地方，為了解決這類問(wèn)題，從而產(chǎn)生了微分方程。

微分方程是許多理工科專業(yè)需要開設(shè)的基礎(chǔ)課程，微分方程與微積分是同時(shí)產(chǎn)生的，一開始就成為人類認(rèn)識(shí)世界和改造世界的有力工具，隨著生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，該學(xué)科已經(jīng)演變發(fā)展為數(shù)學(xué)學(xué)科理論中理論聯(lián)系實(shí)際的一個(gè)重要分支。隨著數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的日益活躍，利用微分方程建立數(shù)學(xué)模型，成為解決實(shí)際問(wèn)題不可或缺的方法與工具。

而數(shù)學(xué)模型是對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定對(duì)象，一個(gè)特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).簡(jiǎn)單地說(shuō)：就是系統(tǒng)的某種特征的本質(zhì)的數(shù)學(xué)表達(dá)式（或是用數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)對(duì)部分現(xiàn)實(shí)世界的描述），即用數(shù)學(xué)式子（如函數(shù)、圖形、代數(shù)方程、微分方程、積分方程、差分方程等）來(lái)描述（表述、模擬）所研究的客觀對(duì)象或系統(tǒng)在某一方面的存在規(guī)律。

二、微分方程模型應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題的方法和流程總結(jié)

在研究實(shí)際問(wèn)題時(shí)，常常會(huì)聯(lián)系到某些變量的變化率或?qū)?shù)，這樣所得到變量之間的關(guān)系式就是微分方模型。微分方程模型反映的是變量之間的間接關(guān)系，因此，要得到直接關(guān)系，就得求微分方程。

一般用于求解微分方程的方法或形式有三種，分別是求解析解、求數(shù)值解（近似解）和定性理論方法。而建立微分方程模型的方法通常也有三種，其一是利用數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理、化學(xué)等學(xué)科中的定理或經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)的規(guī)律等來(lái)建立微分方程模型；其二是利用已知的定理與規(guī)律尋找微元之間的關(guān)系式，與第一種方法不同的是對(duì)微元而不是直接對(duì)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)應(yīng)用規(guī)律；其三是在生物、經(jīng)濟(jì)等學(xué)科的實(shí)際問(wèn)題中，許多現(xiàn)象的規(guī)律性不很清楚，即使有所了解也是極其復(fù)雜的，建模時(shí)在不同的假設(shè)下去模擬實(shí)際的現(xiàn)象，建立能近似反映問(wèn)題的微分方程，然后從數(shù)學(xué)上求解或分析所建方程及其解的性質(zhì)，再去同實(shí)際情況對(duì)比，檢驗(yàn)此模型能否刻畫、模擬某些實(shí)際現(xiàn)象。

在建立數(shù)學(xué)微分方程的流程上，我們通常第一步是對(duì)具體實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析，找出問(wèn)題中的變化量和變量關(guān)系，接著進(jìn)行模型假設(shè)，將實(shí)際問(wèn)題的元素用數(shù)學(xué)概念代替，然后進(jìn)行符號(hào)設(shè)定，簡(jiǎn)化計(jì)算，從而建立模型，進(jìn)行求解，最后用求解的結(jié)果對(duì)之前的問(wèn)題分析和模型假設(shè)進(jìn)行驗(yàn)證，驗(yàn)證合理后進(jìn)行模型的應(yīng)用和評(píng)估。

三、微分方程模型應(yīng)用領(lǐng)域歸納和具體案例分析

從應(yīng)用領(lǐng)域上講，微分方程大方向上的應(yīng)用領(lǐng)域主要分社會(huì)及市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)、戰(zhàn)爭(zhēng)微分模型分析、人口與動(dòng)物世界、疾病的傳染與診斷和自然科學(xué)這五個(gè)方面，如果細(xì)致來(lái)講，其中社會(huì)及市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)方面又包括綜合國(guó)力的微分方程模型、誘發(fā)投資與加速發(fā)展的微分方程模型、經(jīng)濟(jì)調(diào)整的微分方程模型、廣告的微分方程模型、價(jià)格的微分方程模型；戰(zhàn)爭(zhēng)微分模型包括軍備競(jìng)賽的微分方程模型、戰(zhàn)爭(zhēng)的微分方程模型、戰(zhàn)斗中生存可能性的微分方程模型、戰(zhàn)爭(zhēng)的預(yù)測(cè)與評(píng)估模型；人口與動(dòng)物世界領(lǐng)域包括單種群模型及進(jìn)行開發(fā)的單種群模型、弱肉強(qiáng)食模型、兩個(gè)物種在同一生態(tài)龕中的競(jìng)爭(zhēng)排斥模型、無(wú)管理的魚類捕撈模型、人口預(yù)測(cè)與控制模型；疾病傳染與診斷領(lǐng)域包括艾滋病流行的微分方程模型、糖尿病診斷的微分方程模型、人體內(nèi)碘的微分方程模型、藥物在體內(nèi)的分布與排除模型；自然科學(xué)領(lǐng)域包括人造衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的微分方程模型、航空航天器翻滾控制的微分方程模型、非線性振動(dòng)的微分方程模型、PLC電路自激振蕩的微分方程模型和盯梢與追擊問(wèn)題的微分方程模型等。

盡管從上述微分方程應(yīng)用領(lǐng)域的羅列和總結(jié)上，我們會(huì)覺得比較復(fù)雜，其實(shí)所有微分方程建模問(wèn)題的流程都是嚴(yán)格按照問(wèn)題分析、模型假設(shè)、符號(hào)設(shè)定、建立模型、模型求解和驗(yàn)證模型這一流程進(jìn)行的，下面就結(jié)合一個(gè)案例來(lái)具體分析：

比如弱肉強(qiáng)食微分方程模型。生活在同一環(huán)境中的各類生物之間，進(jìn)行著殘酷的生存競(jìng)爭(zhēng)。設(shè)想一海島，居住著狐貍與野兔，狐吃兔，兔吃草，青草如此之豐富，兔子們無(wú)無(wú)食之憂，于是大量繁殖；兔子一多，狐易得食，狐量亦增，而由于狐貍數(shù)量增加吃掉大量兔子，狐群又進(jìn)入饑餓狀態(tài)而使其總數(shù)下降，這時(shí)兔子相對(duì)安全，于是兔子總數(shù)回升。就這樣，狐兔數(shù)目交替地增減，無(wú)休止的循環(huán)，遂形成生態(tài)的動(dòng)態(tài)平衡。那么，如何用建立數(shù)學(xué)模型描述并預(yù)測(cè)下一階段情況呢？在這個(gè)問(wèn)題上，某一時(shí)刻兔子數(shù)量和狐貍數(shù)量就存在變量關(guān)系：

其中ax表示兔子的繁殖速度與現(xiàn)存兔子數(shù)成正比，-bxy表示狐兔相遇，兔子被吃掉的速度；-cy表示狐貍因同類爭(zhēng)食造成的死亡速度與狐貍總數(shù)成正比；dxy表示狐兔相遇，對(duì)狐貍有好處而使狐貍繁殖增加的速度。

四、結(jié)語(yǔ)

微分方程模型的應(yīng)用讓很多現(xiàn)實(shí)中難以具體計(jì)算的問(wèn)題迎刃而解，通過(guò)對(duì)事物發(fā)展規(guī)律的掌控進(jìn)行科學(xué)建模，是數(shù)學(xué)應(yīng)用于生活的發(fā)展趨勢(shì)，作為廣大在校進(jìn)行數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)習(xí)的同學(xué)來(lái)說(shuō)，掌握好專業(yè)基本功，是將來(lái)就業(yè)工作，實(shí)現(xiàn)自身價(jià)值的重要途徑。

參考文獻(xiàn)：

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[2]付樹軍. 圖像處理中幾何驅(qū)動(dòng)的變分和偏微分方程方法研究[D].北京交通大學(xué)，2008.

第9篇：自然科學(xué)的數(shù)學(xué)原理范文

[關(guān)鍵詞] 中學(xué) 數(shù)學(xué)教學(xué) “數(shù)學(xué)美”

中學(xué)數(shù)學(xué)教材始終洋溢著“數(shù)學(xué)美”的特質(zhì),數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中的師生無(wú)時(shí)不在感受數(shù)學(xué)美的誘惑。筆者結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)教材,數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際探討中學(xué)數(shù)學(xué)之美。

一、數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美

簡(jiǎn)約是一種美。數(shù)學(xué)便是用最簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言概括了數(shù)量關(guān)系、空間結(jié)構(gòu),也正因?yàn)楹?jiǎn)潔,數(shù)學(xué)才得以最廣泛地運(yùn)用,才有極強(qiáng)的生命力。

1.簡(jiǎn)潔的阿拉伯?dāng)?shù)字

1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0這一組數(shù)字是人們對(duì)物質(zhì)世界存在性最直接最原始的表達(dá)。歷史上,各國(guó)各民族都有自己的數(shù)字,但只有阿拉伯?dāng)?shù)字保留并廣為流傳,究其原因,簡(jiǎn)潔流暢的書寫,干脆上口的發(fā)音,運(yùn)算中進(jìn)位快捷方便,是其勝出的法寶。

2.精煉的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言

自然界的客觀存在和普遍聯(lián)系要有合適的語(yǔ)言去表達(dá),這種語(yǔ)言要言簡(jiǎn)意賅,要有普適性,各種各樣的數(shù)學(xué)符號(hào)應(yīng)運(yùn)而生。正因?yàn)橛辛藬?shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言,數(shù)學(xué)知識(shí)才能一代代傳下去。一位美國(guó)數(shù)學(xué)家說(shuō),合適的數(shù)學(xué)符號(hào)“帶著自己的生命出現(xiàn),并且它又創(chuàng)造出新的生命來(lái)。”

3.簡(jiǎn)明的公理化體系

數(shù)學(xué)猶如煙波浩渺的海洋,海洋中有數(shù)學(xué)分析,實(shí)函,復(fù)函,拓?fù)?還有歐式幾何,解析幾何,放射幾何……它們彼此相似,但又各成一門學(xué)科。因?yàn)樗鼈兇蠖嘟⒃诟髯缘墓砘w系上。所謂“公理化”,即首先通過(guò)理性思維,根據(jù)邏輯次序,指出原始概念,原始圖形,原始關(guān)系,指出哪些是基本的不加證明的原始命題,即公理。由這些原始概念和公理出發(fā),定義其它概念,證明其它命題。中學(xué)數(shù)學(xué)中不乏這樣的精美知識(shí)鏈。函數(shù)遵循著“集合――映射――函數(shù)――圖象和性態(tài)”的結(jié)構(gòu)體系;立體幾何遵循著“點(diǎn)線面等原始概念――公理――各種位置關(guān)系及判斷(定理)――角與距離(運(yùn)用)”的結(jié)構(gòu)體系;向量遵循著“向量的概念――平面(空間)向量基本定理――向量垂直,平行定義及判定――運(yùn)用向量”結(jié)構(gòu)體系。有了知識(shí)結(jié)構(gòu),學(xué)習(xí)就有了藍(lán)本,獲取知識(shí)就有了效率。雖然有些體系并未嚴(yán)格公理化,但并不影響人們對(duì)明快的公理化方法的喜好。

二、數(shù)學(xué)的對(duì)稱美

楊振寧認(rèn)為物理學(xué)的現(xiàn)代方法“不是通過(guò)實(shí)驗(yàn)導(dǎo)致結(jié)論,而是考慮對(duì)稱性的過(guò)程中列出方程式,由實(shí)驗(yàn)加以證實(shí)。”對(duì)稱性的方法論同樣帶給化學(xué)深遠(yuǎn)影響。從物理、化學(xué)等自然科學(xué)中抽象出許許多多的對(duì)稱,就形成了數(shù)學(xué)中的對(duì)稱圖形,對(duì)稱多項(xiàng)式,對(duì)稱方程,對(duì)稱函數(shù),對(duì)稱矩陣,對(duì)稱空間,對(duì)稱群等,這些美倫美奐的對(duì)稱帶給人們平衡,完整的美感。

1.對(duì)稱圖形

對(duì)稱圖形分為中心對(duì)稱圖形,軸對(duì)稱圖形和鏡象對(duì)稱圖形。眾所周知,圓、球既是軸對(duì)稱,又是中心對(duì)稱,且球還是面對(duì)稱幾何模型;使圓、球保持不變的空間變換有無(wú)限多。圓是周長(zhǎng)為定值,面積最大的(或面積一定,周長(zhǎng)最小)的平面圖形,球則是表面積一定,體積最大(或體積一定,表面積最小)的空間幾何體。當(dāng)然稍遜圓、球的是正多邊形、正多面體,雖然不及圓、球完美,但其對(duì)稱帶給人們的美感仍不容小視。

巧妙運(yùn)用對(duì)稱對(duì)稱多項(xiàng)式的性質(zhì),不僅簡(jiǎn)化運(yùn)算,而且更能感受對(duì)稱美的力量。

3.對(duì)偶原理

對(duì)偶原理廣泛存在于幾何,代數(shù)等數(shù)學(xué)學(xué)科。對(duì)偶原理要求既對(duì)換元素的種類,又對(duì)換元素運(yùn)算。中學(xué)數(shù)學(xué)不乏這樣的例子。

橢圓的定義:平面上到兩定點(diǎn)距離和為定值( >兩定點(diǎn)之距)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡。而雙曲線的定義:平面上到兩定點(diǎn)距離差的絕對(duì)值為定值(

以上數(shù)例,可以感知,對(duì)偶不僅是廣泛運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理,更是一種數(shù)學(xué)思維方式。

三、數(shù)學(xué)的和諧奇峭美

人們喜好對(duì)稱的正方形,但更欣賞神賜比例下的黃金矩形,和諧美,奇峭更美。數(shù)學(xué)發(fā)展史告訴我們,數(shù)學(xué)發(fā)展道路崎嶇不平,時(shí)而晴空萬(wàn)里,光彩照人,充滿靜謐的和諧美;時(shí)而電閃雷鳴,烏云滾滾,有著神鬼莫測(cè)的奇峭美。

1.常量與變量

數(shù)學(xué)上用“常量”表示事物的相對(duì)穩(wěn)定狀態(tài),用“變量”刻劃事物的變化及運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。“常”中有“變”,常是暫時(shí)的,相對(duì)的;“變”中有“常”,變是永恒的,絕對(duì)的。變量變化的某個(gè)瞬間,變化的結(jié)果,都可以當(dāng)常量處理。如函數(shù)y=f(x)在x0∈I的導(dǎo)數(shù)是一個(gè)常量,當(dāng)x0取遍區(qū)間內(nèi)的所有值,其導(dǎo)數(shù)就形成變量,如此就構(gòu)成y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x),而運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)又可以輕松求出函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)

2.有限與無(wú)限

有限是經(jīng)驗(yàn)的,直觀的;無(wú)限更多的是靠推理,是想象的,理性的,無(wú)限步驟中的有限推理,無(wú)限過(guò)程中的有限結(jié)果。比如數(shù)學(xué)歸納法用有限的步驟證得命題在無(wú)限集(自然數(shù)集)上成立。又如球的表面積與體積公式的產(chǎn)生,就是用無(wú)限分割,求和,再求極限給出了S=4πr2, V=43πr3這一有限的結(jié)果。

3.特殊和一般